৮ম শ্রেণির অনুশীলনী ৪.৪ — বীজগণিতীয় রাশিমালার লসাগু ও গসাগু
\begin{align*}
&\mathbf{ক. \text{ } বহুনির্বাচনী\text{ } প্রশ্ন}\\
&\mathbf{১. \left(3x-5\right)\left(5+3x\right) \text{ } কে \text{ } দুটি \text{ } রাশির \text{ } বর্গের \text{ } অন্তররূপে \text{ } প্রকাশ \text{ } করলে \text{ } সঠিক \text{ } রূপ \text{ } নির্ণয় \text{ } কর।}\\
&সমাধানঃ\\
&\left(3x-5\right)\left(5+3x\right)\\
&=\left(3x-5\right)\left(3x+5\right)\\
&=\left(3x\right)²-5²\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[সূত্র\ {\ \ a}^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\right]\\
&= 9x²-25\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } ঘ) \text{ } 9x²-25\\
&\mathbf{২. x²-√3x+1=0 হলে \text{ } x+\frac{1}{x} এর \text{ } মান \text{ } নির্ণয় \text{ } কর।}\\
&সমাধানঃ\\
&x²-√3x+1=0\\
&উভয় \text{ } পক্ষকে \text{ } x \text{ } দ্বারা \text{ } ভাগ \text{ } করি।\\
&বা, \frac{x^{2}}{x}-\frac{\sqrt 3x}{x}+\frac{1}{x}=\frac{0}{x}\\
&বা, x-\sqrt 3+\frac{1}{x}=0\\
&বা, x+\frac{1}{x}=\sqrt 3\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } ঘ) \text{ } √3\\
&\mathbf{৩. x²+\frac{1}{x^{2}} \text{ } এর \text{ } মান \text{ } নির্ণয় \text{ } কর।}\\
&সমাধানঃ\\
&x+\frac{1}{x}=\sqrt 3\\
&বা, (x+\frac{1}{x})²=(√3)²\\
&বা, x²+2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x²}=3 \left[সূত্র\ {\left(a+b\right)}^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\right]\\
&বা, x²+2+\frac{1}{x²}=3\\
&বা, x²+\frac{1}{x²}=3-2\\
&বা, x²+\frac{1}{x²}=1\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } ক) \text{ } 1
\end{align*}
Visit and Download The Complete Exercise 4.4 of Class 8 in PDF Version Free :
Link 1: https://drive.google.com/file/d/1NRsy8fkPsRYYuW4HgsGUDd-Dfh8EBv0n/view?usp=sharing
Link 2:
https://naharmath.com/wp-content/uploads/2026/09/class-8-math-exercises-4-4-solution-bangla.pdf
\begin{align*}
&\mathbf{৪. x³+\frac{1}{x³} \text{ } এর \text{ } মান \text{ } নির্ণয় \text{ } কর।}\\
&সমাধানঃ\\
&দেওয়া \text{ } আছে, x+\frac{1}{x}=\sqrt 3\\
&তাহলে, \text{ } x³+\frac{1}{x³}=\left(x+\frac{1}{x}\right)³-3.x.\frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{x}\right) [ সূত্র, \ a^{3}+b^{3}={\left(a+b\right)}^{3}-3ab\left(a+b\right)\ ]\\
&=\left(\sqrt 3\right)³-3\sqrt 3 [ x+\frac{1}{x}=\sqrt 3\ \text{ } বসিয়ে] \\
&=3√3-3√3\\
&=0 \\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } ঘ) \text{ } 0\\
&\mathbf{৫. x²-x-30 \text{ } এর \text{ } উৎপাদকে \text{ } বিশ্লেষণ \text{ } কোনটি?}\\
&সমাধানঃ\\
&x²-x-30\\
&=x²-6x+5x-30 [ মিডল টার্ম ব্রেক ]\\
&=x\left(x-6\right)+5\left(x-6\right) [কমন]\\
&=\left(x-6\right)\left(x+5\right) [কমন]\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } খ) \text{ } \left(x+5\right)\left(x-6\right)\\
&\mathbf{৬. \text{ } বীজগণিতের \text{ } সূত্রাবলি \text{ } সম্পর্কে \text{ } i, ii \text{ } ও \text{ } iii \text{ } যাচাই \text{ } কর।}\\
&সমাধানঃ\\
&i. x³-y³=\left(x-y\right)\left(x²+xy+y²\right)— সঠিক। [ সূত্র a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)\left(a^{2}+\ ab+b^{2}\right) ]\\
&ii. ab={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{2}-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^{2}— সঠিক। \text{ } [বইয়ের \text{ } অনুসিধান্ত \text{ } ৬ ] \\
&iii. x³+y³=\left(x+y\right)³+3xy\left(x+y\right) — সঠিক \text{ } নয়। \text{ } [ সূত্র, a^{3}+b^{3}={\left(a+b\right)}^{3}-3ab\left(a+b\right)]\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } ক) \text{ } i, ii\\
&\mathbf{৭. x+\frac{1}{x}=2 \text{ } হলে}\\
&সমাধানঃ\\
&\mathbf{(১) \left(x-\frac{1}{x}\right)² \text{ } এর \text{ } মান}\\
&\left(x-\frac{1}{x}\right)² = \left(x+\frac{1}{x}\right)² -\ 4.x.\frac{1}{x} [ সূত্র, {\left(a-b\right)}^{2}={\left(a+b\right)}^{2}+4ab]\\
&= 2²-4 [ x+\frac{1}{x}=2 বসিয়ে] \\
&= 4-4\\
&= 0\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } ক) \text{ } 0 \\
&\mathbf{(২) x³+\frac{1}{x³} \text{ } এর \text{ } মান}\\
&x³+\frac{1}{x³}\ \ =\left(x+\frac{1}{x}\right)³-3.x.\frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{x}\right) [ সূত্র, a^{3}+b^{3}={\left(a+b\right)}^{3}-3ab\left(a+b\right)]\\
&= 2³-3×2 [ x+\frac{1}{x}=2 \text{ } বসিয়ে]\\
&= 8-6\\
&= 2\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } খ) \text{ } 2\\
&\mathbf{(৩) x⁴+\frac{1}{x⁴} \text{ } এর \text{ } মান}\\
&প্রথমে, \text{ } x²+\frac{1}{x²}=\left(x+\frac{1}{x}\right)²-2.x.\frac{1}{x} [ সূত্র, \text{ } a^{2}+b^{2}={\left(a+b\right)}^{2}-2ab\ ]\\
&= 2²-2 [ x+\frac{1}{x}=2 \text{ } বসিয়ে]\\
&= 2\\
&এখন, \text{ } x⁴+\frac{1}{x⁴}=\left(x²+\frac{1}{x²}\right)²-2.x^{2.}\frac{1}{x^{2}}\\
&= 2²-2 [ x²+\frac{1}{x²}=2 \text{ } বসিয়ে]\\
&= 2\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } ঘ) \text{ } 2\\
&\mathbf{খ. \text{ } গ.সা.গু. \text{ } নির্ণয় \text{ } করো \text{ } (৮–১৩)}\\
&\mathbf{৮. \text{ } 36a²b²c⁴d⁵, \text{ } 54a³c²d⁴ \text{ } এবং \text{ } 90a⁴b³c²}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি = 36a²b²c⁴d⁵ \text{ } = 2.2.3.3.a.a.b.b.c.c.c.c.d.d.d.d.d\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি = 54a³c²d⁴ \text{ } = 2.3.3.3.a.a.a.c.c.d.d.d.d\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি = 90a⁴b³c² \text{ } = 2.3.3.5.a.a.a.a.b.b.b.c.c\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. = 2.3.3.a.a.c.c \text{ } =18a²c²\\
&\mathbf{৯. \text{ } 20x³y²a³b⁴, \text{ } 15x⁴y³a⁴b³ \text{ } এবং \text{ } 35x²y⁴a³b²}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি = 20x³y²a³b⁴ \text{ } = 2.2.5.x.x.x.y.y.a.a.a.b.b.b.b\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি = 15x⁴y³a⁴b³ \text{ } = 3.5.x.x.x.x.y.y.y.a.a.a.a.b.b.b\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি = 35x²y⁴a³b² \text{ } = 5.7.x.x.y.y.y.y.a.a.a.b.b\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. = 5.x.x.y.y.a.a.a.b.b \text{ } = 5x²y²a³b²\\
&\mathbf{১০. \text{ } x²-3x \text{ } , \text{ } x²-9 \text{ } এবং \text{ } x²-4x+3}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি = x²-3x \text{ } = x\left(x-3\right) [কমন]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি = x²-9 \text{ } = x^{2}-3^{2} \text{ } = \left(x+3\right)\left(x-3\right) \left[সূত্র\ {\ \ a}^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\right]\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি = x²-4x+3 \text{ } = x^{2}-3x-x+3 [ মিডল টার্ম ব্রেক ]\\
&= x\left(x-3\right)-1\left(x-3\right) \text{ } = \left(x-3\right)\left(x-1\right) [কমন]\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. = x-3\\
&\mathbf{১১. \text{ } 18\left(x+y\right)³, \text{ } 24\left(x+y\right)²\ \text{ } এবং \text{ } \ \ 32\left(x²-y²\right)}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি = 18\left(x+y\right)³, \text{ } = 2.3.3.\left(x+y\right)\left(x+y\right)\left(x+y\right)\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি = 24\left(x+y\right)² \text{ } = 2.2.2.3\left(x+y\right)\left(x+y\right)\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি = 32\left(x²-y²\right) \text{ } = 2.2.2.2.2\ \left(x+y\right)\left(x-y\right) \left[সূত্র\ {\ \ a}^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\right]\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. =\ 2\left(x+y\right)\\
&\mathbf{১২. \text{ } \ a²b\left(a³-b³\right),\ \ a²b²\left(a⁴+a²b²+b⁴\right)\ \text{ } এবং \text{ } \ \ a³b²+a²b³+ab⁴}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি = a²b\left(a³-b³\right) \text{ } = a.a.b\left(a-b\right)\left(a²+ab+b²\right) [ সূত্র a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)\left(a^{2}+\ ab+b^{2}\right) ]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি = a²b²\left(a⁴+a²b²+b⁴\right) \text{ } = a.a.b.b\left(a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}-a^{2}b^{2}\right)\\
&= a.a.b.b\left\{{\left(a^{2}\right)}^{2}+2.a^{2}{.b}^{2}+{\left(b^{2}\right)}^{2}-a^{2}b^{2}\right\} \text{ } = a.a.b.b\left\{{\left(a^{2}+b^{2}\right)}^{2}-{\left(ab\right)}^{2}\right\} \left[সূত্র\ {\left(a+b\right)}^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\right] \\
& = a.a.b.b\left(a^{2}+b^{2}+ab\right)\left(a^{2}+b^{2}-ab\right) \left[সূত্র\ {\ \ a}^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\right]\\
& = a.a.b.b\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি = a³b²+a²b³+ab⁴ \text{ } = ab^{2}\left(a²+ab+b²\right) [কমন]\\
& = a.b.b\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. =\ \ ab\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)\\
&\mathbf{১৩. \text{ } a³-3a²-10a, \text{ } a³+6a²+8a \text{ } এবং \text{ } a⁴-5a³-14a²}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি = a³−3a²−10a \text{ } = a\left(a^{2}-3a-10\right) [কমন]\\
&= a\left(a^{2}-5a+\\2a-10\right) [ মিডল টার্ম ব্রেক ]\\
&= a\left\{a\left(a-5\right)+2\left(a-5\right)\right\} \text{ } = a\left(a-5\right)\left(a+2\right) [কমন]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি = a³+6a²+8a \text{ } = a\left(a^{2}+6a+8\right) [কমন]\\
&= a\left(a^{2}+4a+2a+8\right) [ মিডল টার্ম ব্রেক ]\\
&= a\left\{a\left(a+4\right)+2\left(a+4\right)\right\} \text{ } = a\left(a+4\right)\left(a+2\right) [কমন]\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি = a⁴−5a³−14a² \text{ } = a^{2}\left(a^{2}-5a-14\right) [কমন]\\
& = a^{2}\left(a^{2}-7a+2a-14\right) [ মিডল টার্ম ব্রেক ]\\
& = a^{2}\left\{a\left(a-7\right)+2\left(a-7\right)\right\} \text{ } = a.a\left(a-7\right)\left(a+2\right) [কমন]\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. = a\left(a+2\right)\\
&\mathbf{গ. \text{ } ল.সা.গু. \text{ } নির্ণয় \text{ } করো \text{ } (১৪–১৯)}\\
&\mathbf{১৪. \text{ } a⁵b²c, \text{ } ab³c² \text{ } এবং \text{ } a⁷b⁴c³}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি = a⁵b²c \text{ } = a.a.a.a.a.b.b.c\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি = ab³c² \text{ } = a.b.b.b.c.c\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি = a⁷b⁴c³ \text{ } = a.a.a.a.a.a.a.b.b.b.b.c.c.c\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. = a.a.a.a.a.a.a.b.b.b.b.c.c.c \text{ } = a⁷b⁴c³\\
&\mathbf{১৫. \text{ } 5a²b³c², \text{ } 10ab²c³ \text{ } এবং \text{ } 15ab⁴c}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি = 5a²b³c² \text{ } = 5.a.a.b.b.b.c.c\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি = 10ab²c³ \text{ } = 2.5.a.b.b.c.c.c\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি= 15ab^{3}c \text{ } = 3.5.a.b.b.b.c\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. = 2.3.5.a.a.b.b.b.c.c.c \text{ } = 30a²b³c³\\
&\mathbf{১৬. \text{ } 3x³y², \text{ } 4xy³z, \text{ } 5x⁴y²z² \text{ } এবং \text{ } 12xy⁴z²}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি = 3x³y² \text{ } = 3.x.x.x.y.y\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি = 4xy³z \text{ } = 2.2.x.y.y.y.z\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি = 5x⁴y²z² \text{ } = 5.x.x.x.x.y.y.z.z\\
&চতুর্থ \text{ } রাশি = 12xy⁴z² \text{ } = 2.2.3.x.y.y.y.y.z.z\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. = 2.2.3.5.x.x.x.x.y.y.y.y.z.z \text{ } = 60x⁴y⁴z²\\
&\mathbf{১৭. \text{ } x²-4, \text{ } x²+4x+4 \text{ } এবং \text{ } x³-8}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি = x²-4 \text{ } = x^{2}-2^{2} \text{ } = \left(x+2\right)\left(x-2\right) \left[সূত্র\ {\ \ a}^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\right]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি = x²+4x+4 \text{ } = x^{2}+2.x.2+2^{2} \text{ } =\left(x+2\right)² \left[সূত্র\ {\left(a+b\right)}^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\right] \\
&= \left(x+2\right)\left(x+2\right)\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি = x³-8 \text{ } = x^{3}-2^{3} \text{ } = \left(x-2\right)\left(x^{2}+x.2+2^{2}\right) [ সূত্র a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)\left(a^{2}+\ ab+b^{2}\right) ]\\
&= \left(x-2\right)\left(x²+2x+4\right)\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. = \left(x+2\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x^{2}+2x+4\right) \text{ } = {\left(x+2\right)}^{2}\left(x-2\right)\left(x^{2}+x.2+2^{2}\right)\\
& = {\left(x+2\right)}^{2}\left(x^{3}-2^{3}\right) [ সূত্র a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)\left(a^{2}+\ ab+b^{2}\right) ]\\
& = {\left(x+2\right)}^{2}\left(x^{3}-8\right)\\
&\mathbf{১৮. \text{ } 6x²-x-1, \text{ } 3x²+7x+2 \text{ } এবং \text{ } 2x²+3x-2}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি = 6x²−x−1 \text{ } = 6x^{2}-3x+2x-1 [ মিডল টার্ম ব্রেক ]\\
&= 3x\left(2x-1\right)+1\left(2x-1\right) \text{ } = \left(2x-1\right)\left(3x+1\right) [কমন]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি = 3x²+7x+2 \text{ } = 3x^{2}+6x+x+2 [ মিডল টার্ম ব্রেক ]\\
& = 3x\left(x+2\right)+1\left(x+2\right) \text{ } = \left(x+2\right)\left(3x+1\right) [কমন]\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি = 2x²+3x−2 \text{ } = 2x^{2}+4x-x-2 [ মিডল টার্ম ব্রেক ]\\
&= 2x\left(x+2\right)-1\left(x+2\right) \text{ } = \left(x+2\right)\left(2x-1\right) [কমন]\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. =\ \ \left(x+2\right)\left(2x-1\right)\left(3x+1\right)\\
&\mathbf{১৯. \text{ } a³+b³, \text{ } \left(a+b\right)³, \text{ } \left(a²-b²\right)²\ \text{ } এবং \text{ } \ \ \left(a²-ab+b²\right)²}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি = a³+b³ \text{ } = \left(a+b\right)\left(a²-ab+b²\right) [ সূত্র a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-\ ab+b^{2}\right) ]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি = \left(a+b\right)³ \text{ } =\ \left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি = (a²−b²)² \text{ } = {\left\{\left(a+b\right)\left(a-b\right)\right\}}^{2} \left[সূত্র\ {\ \ a}^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\right]\\
&= \left(a+b\right)²\left(a-b\right)² \text{ } = \left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a-b\right)\\
&চতুর্থ \text{ } রাশি = \left(a²-ab+b²\right)² \text{ } = \left(a²-ab+b²\right)\left(a²-ab+b²\right)\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. = \left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a²-ab+b²\right)\left(a²-ab+b²\right) \\
&= \left(a+b\right)³\left(a-b\right)²\left(a²-ab+b²\right)²\\
&\mathbf{ঘ. \text{ } প্রয়োগমূলক \text{ } প্রশ্ন}\\
&\mathbf{\text{ } সৃজনশীল \text{ } প্রশ্ন:\text{ }২০. \text{ } 3x-5y+3z \text{ } এবং \text{ } 3x+5y-z \text{ } দুটি \text{ } বীজগাণিতিক \text{ } রাশি।}\\
&সমাধানঃ\\
&\mathbf{ক) \text{ } ১ম \text{ } রাশিটির \text{ } বর্গ \text{ } নির্ণয় \text{ } কর।}\\
&\left(3x-5y+3z\right)²\\
&=\left(3x\right)²+\left(-5y\right)²+\left(3z\right)²+2\left(3x\right)\left(-5y\right)+2\left(-5y\right)\left(3z\right)+2\left(3z\right)\left(3x\right)\\
&[ সূত্র, {\left(a+b+c\right)}^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca]\\
&=9x²+25y²+9z²-30xy-30yz+18xz\\
&\mathbf{খ) \text{ } রাশি \text{ } দুটির \text{ } গুণফলকে \text{ } দুটি \text{ } রাশির \text{ } বর্গের \text{ } অন্তররূপে \text{ } প্রকাশ \text{ } কর।}\\
&\left(3x-5y+3z\right)\left(3x+5y-z\right)\\
&ধরি, \text{ } a=3x-5y+3z, এবং b=3x+5y-z\\
&আমরা \text{ } জানি, ab={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{2}-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^{2}\\
&তাহলে, \text{ } \left(3x-5y+3z\right)\left(3x+5y-z\right) \\
&= {\left\{\frac{(3x-5y+3z)+(3x+5y-z)}{2}\right\}}^{2}-{\left\{\frac{(3x-5y+3z)-(3x+5y-z)}{2}\right\}}^{2}\\
&= {\left(\frac{3x-5y+3z+3x+5y-z}{2}\right)}^{2}-{\left(\frac{3x-5y+3z-3x-5y+z}{2}\right)}^{2}\\
&= {\left(\frac{6x+2z}{2}\right)}^{2}-{\left(\frac{4z-10y}{2}\right)}^{2}\\
&= {\left\{\frac{2\left(3x+z\right)}{2}\right\}}^{2}-{\left\{\frac{2\left(2z-5y\right)}{2}\right\}}^{2} [কমন]\\
&= \left(3x+z\right)²-\left(2z-5y\right)²\\
&\mathbf{গ) \text{ } ২য় \text{ } রাশিটির \text{ } মান \text{ } শূন্য \text{ } হলে \text{ } প্রমাণ \text{ } কর \text{ } যে, \text{ } 27x³+125y³+45xyz=z³}\\
&3x+5y-z=0\\
&অতএব, \text{ } z=3x+5y\\
&বামপক্ষ = 27x³+125y³+45xyz\\
&= {\left(3x\right)}^{3}+{\left(5y\right)}^{3}+45xyz\\
&= {\left(3x+5y\right)}^{3}-3.3x.5y\left(3x+5y\right)+45xyz
[ সূত্র, a^{3}+b^{3}={\left(a+b\right)}^{3}-3ab\left(a+b\right)]\\
&= z{}_{\! }^{3}{-}3.3x.5y.z+45xyz [ 3x+5y= z \text{ } বসিয়ে ] \\
&= z^{3}-45xyz+45xyz\\
&= z^{3}\\
&= ডানপক্ষ \\
&অতএব, \text{ } 27x³+125y³+45xyz=z³ \text{ } (প্রমাণিত) \\
&\mathbf{ঙ. \text{ } নমুনা \text{ } প্রশ্ন \text{ } — \text{ } বহুনির্বাচনী}\\
&\mathbf{১. \text{ } -5-y \text{ } এর \text{ } বর্গ \text{ } নিচের \text{ } কোনটি?}\\
&সমাধানঃ\\
&\left(-5-y\right)²\\
&={\left(-5\right)}^{2}-2.\left(-5\right).y+y^{2}\\
&=y²+10y+25\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } ক) \text{ } y²+10y+25\\
&\mathbf{২. \text{ } x²-2x-3 \text{ } এবং \text{ } x²+2x-3 \text{ } এর \text{ } গ.সা.গু. \text{ } কত?}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =x²-2x-3 \text{ } = x^{2}-3x+x-3 [ মিডল টার্ম ব্রেক ]\\
& = x\left(x-3\right)+1\left(x-3\right) \text{ } =\left(x+1\right)\left(x-3\right) [কমন]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =x²+2x-3 \text{ } = x^{2}+3x-x-3 [ মিডল টার্ম ব্রেক ]\\
& = x\left(x+3\right)-1\left(x+3\right) \text{ } =\left(x+3\right)\left(x-1\right) [কমন]\\
&কোনো \text{ } সাধারণ \text{ } বীজগাণিতিক \text{ } উৎপাদক \text{ } নেই।\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু.= 1\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } গ) \text{ } 1\\
&\mathbf{৩. \text{ } x²-10x+21 \text{ } এবং \text{ } \left(x-7\right)\left(x-2\right) \text{ } রাশি \text{ } দুটির \text{ } i, ii, iii \text{ } যাচাই \text{ } কর।}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি = x²-10x+21 \text{ } = x^{2}-7x-3x+21 [ মিডল টার্ম ব্রেক ]\\
&= x\left(x-7\right)-3\left(x-7\right) \text{ } = \left(x-7\right)\left(x-3\right) [কমন]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি = \left(x-7\right)\left(x-2\right)\\
&গ.সা.গু. = x-7 — \text{ } i \text{ } সঠিক।\\
&ল.সা.গু. = \left(x-7\right)\left(x-3\right)\left(x-2\right)\ , তাই \text{ } ii- \text{ } তে \text{ } দেওয়া \text{ } রাশি \text{ } অসম্পূর্ণ \text{ } — ii \text{ } ভুল।\\
&গুণফল = \left(x-7\right)\left(x-7\right)\left(x-3\right)\left(x-2\right) = (x-7)²\left(x-3\right)\left(x-2\right)— iii \text{ } সঠিক।\\
&অতএব \text{ } i \text{ } ও \text{ } iii \text{ } সঠিক।\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } গ) \text{ } i \text{ } ও \text{ } iii\\
&\mathbf{৪. \text{ } x+y=5 \text{ } এবং \text{ } x-y=3 \text{ } হলে \text{ } xy - \text{ } এর \text{ } মান \text{ } কত?}\\
&সমাধানঃ\\
&দেওয়া \text{ } আছে, \\
&x+y=5\\
&এবং \text{ } x-y=3\\
&তাহলে, \text{ } xy={\left(\frac{x+y}{2}\right)}^{2}-{\left(\frac{x+y}{2}\right)}^{2} [ সূত্র, ab={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{2}-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^{2}]\\
&= {\left(\frac{5}{2}\right)}^{2}-{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2}\\
& = \frac{25}{4}-\frac{9}{4}\\
&= \frac{25-9}{4}\\
& = \frac{16}{4}\\
& = 4\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: ঘ) 4\\
&\mathbf{৫. \text{ } x²-y² \text{ } এর \text{ } মান \text{ } কত?}\\
&সমাধানঃ\\
&দেওয়া \text{ } আছে, \\
&x+y=5\\
&এবং \text{ } x-y=3\\
&x²-y²=\left(x+y\right)\left(x-y\right) \left[সূত্র\ {\ \ a}^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\right]\\
&=5×3 \text{ } =15\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } গ) \text{ } 15\\
&\mathbf{চ. \text{ } সৃজনশীল \text{ } প্রশ্ন}\\
&\mathbf{৬. \text{ } P=3x²-5x+2, \text{ } Q=3x²-16x-12 \text{ } এবং \text{ } R=3x²-x-2 \text{ } তিনটি \text{ } বীজগাণিতিক \text{ } রাশি।}\\
&সমাধানঃ\\
&\mathbf{ক) \text{ } P- \text{ } কে \text{ } উৎপাদকে \text{ } বিশ্লেষণ \text{ } কর।}\\
&P=3x²-5x+2 \text{ } =3x²-3x-2x+2 [ মিডল টার্ম ব্রেক ]\\
&=3x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right) \text{ } =\left(3x-2\right)\left(x-1\right) [কমন]\\
&\mathbf{খ) \text{ } P=0 \text{ } এবং \text{ } x≠0 \text{ } হলে, \text{ } 9x²+\frac{4}{x²} - \text{ } এর \text{ } মান \text{ } নির্ণয় \text{ } কর।}\\
&P=0 \text{ } হলে \text{ } , 3x²-5x+2=0\\
&উভয় \text{ } পক্ষকে \text{ } x \text{ } দ্বারা \text{ } ভাগ \text{ } করি:\\
&\frac{3x^{2}}{x}-\frac{5x}{x}+\frac{2}{x}=\frac{0}{x}\\
&বা, 3x-5+\frac{2}{x}=0\\
&বা, 3x+\frac{2}{x}=5\\
&প্রদত্ত \text{ } রাশি = 9x²+\frac{4}{x²} \\
& = {\left(3x\right)}^{2}+{\left(\frac{2}{x}\right)}^{2}\\
& = {\left(3x+\frac{2}{x}\right)}^{2}-2.3x.\frac{2}{x} [ সূত্র, a^{2}+b^{2}={\left(a+b\right)}^{2}-2ab ] \\
& = 5^{2}-12 [ 3x+\frac{2}{x}=5,\ বসিয়ে ] \\
& = 25-12\\
&= 13\\
&\mathbf{গ) \text{ } Q \text{ } ও \text{ } R \text{ } - \text{ } এর \text{ } ল.সা.গু. \text{ } নির্ণয় \text{ } কর।}\\
&Q=3x²-16x-12\\
&=3x²-18x+2x-12 [ মিডল টার্ম ব্রেক ]\\
&=3x\left(x-6\right)+2\left(x-6\right) [কমন]\\
&=\left(3x+2\right)\left(x-6\right) [কমন]\\
&R=3x²-x-2\\
&=3x²-3x+2x-2 [ মিডল টার্ম ব্রেক ]\\
&=3x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right) [কমন]\\
&=\left(3x+2\right)\left(x-1\right) [কমন]\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. = \left(3x+2\right)\left(x-6\right)\left(x-1\right)\\
&\mathbf{৭. \text{ } \ a-\frac{1}{a}=3 \text{ } হলে,}\\
&সমাধানঃ\\
&\mathbf{ক) \text{ } \left(a+\frac{1}{a}\right)² \text{ } - \text{ } এর \text{ } মান \text{ } নির্ণয় \text{ } কর।}\\
&\left(a+\frac{1}{a}\right)²\\
&=\left(a-\frac{1}{a}\right)²+4.a.\frac{1}{a} [ সূত্র, {\left(a+b\right)}^{2}={\left(a-b\right)}^{2}+4ab ]\\
&=3²+4 [ \ a-\frac{1}{a}=3 বসিয়ে ] \\
&=9+4\\
&=13\\
&\mathbf{খ) \text{ } প্রমাণ \text{ } কর \text{ } যে, a⁴=119-\frac{1}{a⁴}}\\
&ক হতে, \\
&বা,\ \left(a+\frac{1}{a}\right)²=13\\
&বা, a²+2.a.\frac{1}{a}+\frac{1}{a²}=13 \left[সূত্র\ {\left(a+b\right)}^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\right] \\
&বা,\ a²+2+\frac{1}{a²}=13\\
&বা,\ a²+\frac{1}{a²}=13-2\\
&বা,\ a²+\frac{1}{a²}=11\\
&বা,\ \left(a²+\frac{1}{a²}\right)²={11}^{2} [ বর্গ করে ] \\
&বা,\ {\left(a^{2}\right)}^{2}+2.a^{2.}\frac{1}{a^{2}}+{\left(\frac{1}{a^{2}}\right)}^{2}=121 \left[সূত্র\ {\left(a+b\right)}^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\right] \\
&বা,\ a⁴+2+\frac{1}{a⁴}=121\\
&বা,\ a⁴=121-2-\frac{1}{a⁴}\\
&বা,\ a⁴=119-\frac{1}{a⁴}\\
&\mathbf{গ) \text{ } a⁵−\frac{1}{a⁵} \text{ } -এর \text{ } মান \text{ } নির্ণয় \text{ } কর।}\\
&a²+\frac{1}{a²}\\
&={\left(a+\frac{1}{a}\right)}^{2}-2.a\frac{1}{a} [ সূত্র, a^{2}+b^{2}={\left(a+b\right)}^{2}-2ab ]\\
&=13-2 [ \left(a+\frac{1}{a}\right)²=13 , বসিয়ে ] \\
&=11\\
&আবার, a³-\frac{1}{a³}=\left(a-\frac{1}{a}\right)³+3.a.\frac{1}{a}\left(a-\frac{1}{a}\right) [ সূত্র, a^{3}-b^{3}={\left(a-b\right)}^{3}+3ab\left(a-b\right) ] \\
& =3^{3}+3.3 [ \ a-\frac{1}{a}=3 বসিয়ে ]\\
& =27+9\\
&সুতরাং a³-\frac{1}{a³}=36\\
&এখন, a⁵-\frac{1}{a⁵}=\left(a²+\frac{1}{a²}\right)\left(a³-\frac{1}{a³}\right)-\left(a-\frac{1}{a}\right)\\
& =11.36-3 [যেহেতু, a²+\frac{1}{a²} =11, a³-\frac{1}{a³}=36\ ,\ \ এবং\ a-\frac{1}{a}=3 ] \\
& =396-3\\
&=393\\
& [ নোট: \left(a²+\frac{1}{a²}\right)\left(a³-\frac{1}{a³}\right)-\left(a-\frac{1}{a}\right) =a^{2}{.a}^{3}-a^{2}.\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{a^{2}}.a^{3}-\frac{1}{a^{2}}.\frac{1}{a^{3}}-a+\frac{1}{a} \\
&=a^{5}+a-\frac{1}{a}-\frac{1}{a^{5}}-a+\frac{1}{a} =a^{5}-\frac{1}{a^{5}} ] \\
&\mathbf{ছ. \text{ } সংক্ষিপ্ত \text{ } -উত্তর \text{ } প্রশ্ন}\\
&\mathbf{৮(ক). \text{ } a+b=10 \text{ } এবং \text{ } a-b=6 \text{ } হলে \text{ } a²+b² \text{ } -এর \text{ } মান \text{ } নির্ণয় \text{ } কর।}\\
&সমাধানঃ\\
&2\left(a^{2}+b^{2}\right)={\left(a+b\right)}^{2}+{\left(a-b\right)}^{2}\ \text{ } ={10}^{2}+6^{2} \text{ } =100+36 \text{ } =136\\
&সুতরাং a^{2}+b^{2}=\frac{136}{2}=68\\
&\mathbf{৮(খ). \text{ } x²+6x+8 \text{ } কে \text{ } দুটি \text{ } রাশির \text{ } বর্গের \text{ } অন্তররূপে \text{ } প্রকাশ \text{ } কর।}\\
&সমাধানঃ\\
&x²+6x+8\\
&=x^{2}+4x+2x+8 [ মিডল টার্ম ব্রেক ]\\
&=x\left(x+4\right)+2\left(x+4\right) [কমন]\\
&=\left(x+4\right)\left(x+2\right) [কমন]\\
&ধরি, \text{ } x+4=a,x+2=b\\
&আমরা \text{ } জানি, \\
&ab={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{2}-{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^{2}\\
&সুতরাং \left(x+4\right)\left(x+2\right) ={\left\{\frac{\left(x+4\right)+\left(x+2\right)}{2}\right\}}^{2}-{\left\{\frac{\left(x+4\right)-\left(x+2\right)}{2}\right\}}^{2}
[a=x+4,b=x+2 বসিয়ে ]\\
&={\left(\frac{x+4+x+2}{2}\right)}^{2}-{\left(\frac{x+4-x-2}{2}\right)}^{2}\\
&={\left(\frac{2x+6}{2}\right)}^{2}-{\left(\frac{2}{2}\right)}^{2}\\
&={\left\{\frac{2\left(x+3\right)}{2}\right\}}^{2}-1^{2}\\
&=\left(x+3\right)²-1² \\
&তাহলে, \text{ } \left(x+4\right)\left(x+2\right)=\left(x+3\right)²-1² \\
&সুতরাং \text{ } x²+6x+8 =\left(x+3\right)²-1² \\
&বিকল্প \text{ } সমাধানঃ\\
&x²+6x+8\\
&=x²+6x+9-1\\
&=x^{2}+2.x.3+3^{2}-1\\
&=\left(x+3\right)²-1² \left[সূত্র\ {\left(a+b\right)}^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\right] \\
&\mathbf{৮(গ). \text{ } a+\frac{1}{a}=3 \text{ } হলে \text{ } a³+\frac{1}{a³}\ \ - \text{ } এর \text{ } মান \text{ } নির্ণয় \text{ } কর।}\\
&সমাধানঃ\\
&a³+\frac{1}{a³}=\left(a+\frac{1}{a}\right)³-3.a.\frac{1}{a}\left(a+\frac{1}{a}\right) [ সূত্র, a^{3}-b^{3}={\left(a-b\right)}^{3}+3ab\left(a-b\right) ]\\
& =3³-3×3 [ a+\frac{1}{a}=3 বসিয়ে ]\\
&=27-9\\
& =18\\
&\mathbf{৮(ঘ). \text{ } 2x²-9x-35 \text{ } কে \text{ } উৎপাদকে \text{ } বিশ্লেষণ \text{ } কর।}\\
&সমাধানঃ\\
&2x²-9x-35\\
&=2x²-14x+5x-35 [ মিডল টার্ম ব্রেক ]\\
&=2x\left(x-7\right)+5\left(x-7\right) [কমন]\\
&=\left(x-7\right)\left(2x+5\right) [কমন]\\
&\mathbf{৮(ঙ). \text{ } x²-3x \text{ } ও \text{ } x²-9 \text{ } এর \text{ } গ.সা.গু. \text{ } নির্ণয় \text{ } কর।}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =x²-3x \text{ } =x\left(x-3\right) [কমন]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =x²-9 \text{ } =x^{2}-3^{2}\\
&=\left(x-3\right)\left(x+3\right) \left[সূত্র\ {\ \ a}^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\right]\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. =x-3\\
\end{align*}