গণিত — নবম ও দশম শ্রেণি অধ্যায় ১ সমাধান : বাস্তব সংখ্যা
গুরুত্বপূর্ণ সূত্র ও নিয়ম:
| বিষয় | সূত্র |
| মূলদ সংখ্যা | x=\frac{p}{q},\quad p,q\in \mathbb{Z},\quad q\neq 0 |
| চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা | a, a+1, a+2, a+3 |
| চারটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল + ১ | a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1=\\{\left(a^{2}+3a+1\right)}^{2} |
| আবৃত্ত এক অঙ্কের দশমিক | 0.\dot{a}=\frac{a}{9} |
| আবৃত্ত দুই অঙ্কের দশমিক | 0\dot{.a}\dot{b}=\frac{ab}{99} |
| একটি অনাবৃত্ত অঙ্কের পর এক অঙ্ক আবৃত্ত | 0.a\dot{b}=\frac{10a+b-a}{90}\\ \\উদাহরণ-\ \ 23.54\dot{3}=\frac{23543-2354}{900} |
Visit and Download The Full Exercise 1 of Class 9 & 10 in PDF Version Free :
Link 1: https://drive.google.com/file/d/14QPjh42245hjFUn1a0y0B3fYXyp80ezL/view?usp=sharing
Link 2 :
https://naharmath.com/wp-content/uploads/2026/09/class-9-10-math-exercises-1-solution-bangla.pdf
\begin{align*}
&\mathbf{১। \text { } কোনটি \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা?}\\
&ক) 0.\dot{3}\\
&0.\dot{3}= \frac{1}{3}=0.33333......\\
&অতএব \text { } এটি \text { } মূলদ।\\
&খ) \sqrt{\frac{16}{9}}\\
&\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}=1.33333.....\\
&অতএব \text { } এটিও \text { } মূলদ।\\
&গ) \sqrt[3]{\frac{8}{27}}\\
&\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}=0.66666...\\
&অতএব \text { } এটিও \text { } মূলদ।\\
&ঘ) \frac{5}{\sqrt{3}}\\
&\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}=2.886669360891403......\\
&যেহেতু \text { } \sqrt{3} \text { } অমূলদ, \text { } তাই \text { } এই \text { } সংখ্যাটি \text { } অমূলদ।\\
&উত্তর: \text { } ঘ) \text { } \frac{5}{\sqrt{3}}\\
&\mathbf{২। \text { } চারটি \text { } ক্রমিক \text { } স্বাভাবিক \text { } সংখ্যার \text { } গুণফলের \text { } সঙ্গে \text { } ১ \text { } যোগ \text { } করলে \text { } পূর্ণবর্গ}\\
&ধরি, \text { } চারটি \text { } ক্রমিক \text { } স্বাভাবিক \text { } সংখ্যা \text { } হলো\\
&a,\quad b=a+1,\quad c=a+2,\quad d=a+3\\
&তাদের \text { } গুণফলের \text { } সঙ্গে \text { } ১ \text { } যোগ \text { } করি।\\
&abcd+1=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\\
&এখন,\\
&a\left(a+3\right)=a^{2}+3a,\quad \quad \left(a+1\right)\left(a+2\right)=a^{2}+3a+2\\
&অতএব,\\
&a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\\
&=\left(a^{2}+3a\right)\left(a^{2}+3a+2\right)+1\\
&={\left(a^{2}+3a\right)}^{2}+\left(a^{2}+3a\right).2+1\\
&={\left(a^{2}+3a\right)}^{2}+2.\left(a^{2}+3a\right).1+1^{2}\\
&={\left(a^{2}+3a+1\right)}^{2} [ সূত্র, {\left(a+b\right)}^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}]\\
&অতএব \text { } এটি \text { } একটি \text { } পূর্ণবর্গ \text { } সংখ্যা।\\
&উত্তর: \text { } (গ) \text { } abcd+1\\
&\mathbf{৩। \text { } 1 \text { } থেকে \text { } 10 \text { } পর্যন্ত \text { } মৌলিক \text { } সংখ্যা \text { } কয়টি?}\\
&1 \text { } থেকে \text { } 10 \text { } পর্যন্ত \text { } মৌলিক \text { } সংখ্যাগুলো \text { } হলো\\
&2,\quad 3,\quad 5,\quad 7\\
&অতএব, \text { } মোট \text { } 4টি।\\
&উত্তর: \text { } (খ) \text { } 4টি\\
&\mathbf{৪। \text { } a^{2}+b^{2} \text { } - এর \text { } সঙ্গে \text { } কী \text { } যোগ \text { } করলে \text { } পূর্ণবর্গ \text { } হবে?}\\
&a^{2}+b^{2}+2ab=a^{2}+2ab+b^{2}{=\left(a+b\right)}^{2}\\
&উত্তর: \text { } (গ) \text { } 2ab\\
&\mathbf{৫। \text { } প্রমাণ \text { } করো: \text { } \sqrt{5}, \sqrt{7},\ \sqrt{10} \text { } অমূলদ}\\
&বিপরীতভাবে \text { } ধরি, \sqrt{5}\ মূলদ।\\
&\sqrt{5}=\frac{p}{q}\\
&যেখানে \text { } p \text { } ও \text { } q \text { } পরস্পর \text { } সহমৌলিক \text { } পূর্ণসংখ্যা \text { } এবং \text { } q≠0। \\
&উভয় \text { } পাশে \text { } বর্গ \text { } করলে,\\
&5=\frac{p^{2}}{q^{2}}{,\ বা,\ p}^{2}=5q^{2}\\
&অতএব \text { } ৫ \text { } দ্বারা \text { } {,\ p}^{2} \text { } বিভাজ্য; \text { } তাই \text { } ৫ \text { } দ্বারা \text { } p \text { } বিভাজ্য। \text { } ধরি \text { } p=5k।\\
&25k^{2}=5q^{2}\Rightarrow q^{2}=5k^{2}\\
&তাই \text { } q-ও \text { } ৫ \text { } দ্বারা \text { } বিভাজ্য। \text { } কিন্তু \text { } p \text { } ও \text { } q \text { } পরস্পর \text { } সহমৌলিক \text { } ছিল।\\
&অতএব \text { } \sqrt{5\ } \text { } অমূলদ। \text { } একই \text { } যুক্তিতে \text { } \sqrt{7} \text { } এবং \text { } \sqrt{10}\ \text { } অমূলদ। \text { } (প্রমাণিত)\\
&\mathbf{বিকল্প \text { } প্রমাণঃ} \\
&\mathbf{√5 \text { }একটি \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা — প্রমাণ}\\
&আমরা \text { } জানি,\\
&4 < 5 < 9\\
&বা, \text { } √4 < √5 < √9\\
&∴ \text { } 2 < √5 < 3\\
&অর্থাৎ, \text { } √5 \text { } এমন \text { } একটি \text { } সংখ্যা \text { } যা \text { } 2 \text { } এর \text { } থেকে \text { } বড় \text { } কিন্তু \text { } 3 \text { } এর \text { } থেকে \text { } ছোট। \\
&\text { } কিন্তু \text { } 2 \text { } এর \text { } থেকে \text { } বড় \text { } এবং \text { } 3 \text { } এর \text { } থেকে \text { } ছোট \text { } কোনো \text { } পূর্ণসংখ্যা \text { } থাকতে \text { } পারে \text { } না।\\
& \text { } অর্থাৎ, \text { } এটি \text { } মূলদ \text { } বা \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা।\\
&মনে \text { } করি √5 \text { } একটি \text { } মূলদ \text { } সংখ্যা।\\
&তাহলে, √5 = \frac{p}{q} \text { }[এখানে \text { } p, \text { }q \text { }উভয়ে \text { }স্বাভাবিক \text { }সংখ্যা, \text { } q≠0 \\
&\text { }এবং \text { } p, \text { }q \text { }পরষ্পর \text { }সহমৌলিক।]\\
&ফলে, 5 = \frac{p^{2}}{q^{2}} \text { } [উভয় \text { }পক্ষকে \text { } বর্গ \text { }করে।]\\
&বা, 5q = \frac{p^{2}}{q} \text { }[উভয় \text { }পক্ষকে \text { } q \text { }দ্বারা \text { }গুন \text { }করে।]\\
&এখানে, \text { }5q \text { }স্পষ্টত \text { }পূর্ণ \text { }সংখ্যা। \text { } কিন্তু \text { }p \text { }এবং \text { }q \text { }-এর \text { }মধ্যে \text { }কোনো \text { }সাধারণ \\
&\text { }উৎপাদক \text { } নেই। \text { }তাই \text { }\frac{p^{2}}{q} \text { }পূর্ণ \text { }সংখ্যা \text { } নয়।\\
&সুতরাং, \text { } \frac{p^{2}}{q} \text { }কখনো \text { }5q \text { }-এর \text { } সমান \text { } হতে \text { } পারে \text { } না।\\
&সুতরাং, √5 = \frac{p}{q} \text { }হতে \text { } পারে \text { }না।\\
&অতএব, √5 \text { } একটি \text { }অমূলদ \text { } সংখ্যা। \text { } (প্রমাণিত)\\
&\mathbf{√7 \text { } একটি \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা \text { } — প্রমাণ}\\
&আমরা \text { } জানি,\\
&4 < 7 < 9\\
&বা, √4 < √7 < √9\\
&∴ 2 < √7 < 3\\
&অর্থাৎ, \text { } √7 \text { } এমন \text { } একটি \text { } সংখ্যা \text { } যা \text { } 2 \text { } এর \text { } থেকে \text { } বড় \text { } কিন্তু \text { } 3 \text { } এর \text { } থেকে \text { } ছোট। \\
&\text { } কিন্তু \text { } 2 \text { } এর \text { } থেকে \text { } বড় \text { } এবং \text { } 3 \text { } এর \text { } থেকে \text { } ছোট \text { } কোনো \text { } পূর্ণসংখ্যা \text { } থাকতে \text { } পারে \text { } না। \\
&\text { } অর্থাৎ, \text { } এটি \text { } মূলদ \text { } বা \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা।\\
&মনে \text { } করি \text { } √7 \text { } একটি \text { } মূলদ \text { } সংখ্যা।\\
&তাহলে, \text { } √7 = \frac{p}{q} \text { } [এখানে \text { } p, \text { } q \text { } উভয়ে \text { } স্বাভাবিক \text { } সংখ্যা, \text { } q≠0 \\
&\text { } এবং \text { } p, \text { } q \text { } পরষ্পর \text { } সহমৌলিক।]\\
&ফলে, \text { } 7 = \frac{p^{2}}{q^{2}} \text { } [উভয় \text { } পক্ষকে \text { } বর্গ \text { } করে।]\\
&বা, 7q = \frac{p^{2}}{q} \text { } [উভয় \text { } পক্ষকে \text { } q \text { } দ্বারা \text { } গুন \text { } করে।]\\
&এখানে, \text { } 7q \text { } স্পষ্টত \text { } পূর্ণ \text { } সংখ্যা। \text { } কিন্তু \text { } p \text { } এবং \text { } q \text { } -এর \text { } মধ্যে \text { } কোনো \\
&\text { } সাধারণ \text { } উৎপাদক \text { } নেই। \text { } তাই \text { } \frac{p^{2}}{q} \text { } পূর্ণ \text { } সংখ্যা \text { } নয়।\\
&সুতরাং, \text { } \frac{p^{2}}{q} \text { } কখনো \text { } 7q \text { } -এর \text { } সমান \text { } হতে \text { } পারে \text { } না।\\
&সুতরাং, \text { } √7 = \frac{p}{q} \text { } হতে \text { } পারে \text { } না।\\
&অতএব, \text { } √7 \text { } একটি \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা। (প্রমাণিত)\\
&\mathbf{√10 \text { } একটি \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা \text { } — প্রমাণ}\\
&আমরা \text { } জানি,\\
&9 < 10 < 16\\
&বা, √9 < √10 < √16\\
&∴ 3 < √10 < 4\\
&অর্থাৎ, \text { } √10 \text { } এমন \text { } একটি \text { } সংখ্যা \text { } যা \text { } 3 \text { } এর \text { } থেকে \text { } বড় \text { } কিন্তু \text { } 4 \text { } এর \text { } থেকে \text { } ছোট। \\
&\text { } কিন্তু \text { } 3 \text { } এর \text { } থেকে \text { } বড় \text { } এবং \text { } 4 \text { } এর \text { } থেকে \text { } ছোট \text { } কোনো \text { } পূর্ণসংখ্যা \text { } থাকতে \text { } পারে \text { } না। \\
& \text { } অর্থাৎ, \text { } এটি \text { } মূলদ \text { } বা \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা।\\
&মনে \text { } করি \text { } √10 \text { } একটি \text { } মূলদ \text { } সংখ্যা।\\
&তাহলে, \text { } √10 = \frac{p}{q} \text { } [এখানে \text { } p, \text { } q উভয়ে \text { } স্বাভাবিক \text { } সংখ্যা, \text { } q≠0 \\
&\text { } এবং \text { } p, \text { } q \text { } পরষ্পর \text { } সহমৌলিক।]\\
&ফলে, \text { } 10 = \frac{p^{2}}{q^{2}} \text { } [উভয় \text { } পক্ষকে \text { } বর্গ \text { } করে।]\\
&বা, 10q = \frac{p^{2}}{q} \text { } [উভয় \text { } পক্ষকে \text { } q \text { } দ্বারা \text { } গুন \text { } করে।]\\
&এখানে, \text { } 10q \text { } স্পষ্টত \text { } পূর্ণ \text { } সংখ্যা। \text { } কিন্তু \text { } p \text { } এবং \text { } q \text { } -এর \text { } মধ্যে \text { } কোনো \text { } সাধারণ \\
&\text { } উৎপাদক \text { } নেই। \text { } তাই \text { } \frac{p^{2}}{q} \text { } পূর্ণ \text { } সংখ্যা \text { } নয়।\\
&সুতরাং, \text { } \frac{p^{2}}{q} \text { } কখনো \text { } 10q \text { } -এর \text { } সমান \text { } হতে \text { } পারে \text { } না।\\
&সুতরাং, \text { } √10 = \frac{p}{q} \text { } হতে \text { } পারে \text { } না।\\
&অতএব, \text { } √10 \text { } একটি \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা। \text { } (প্রমাণিত)\\
&\mathbf{৬। \text { } নির্দিষ্ট \text { } সীমার \text { } মধ্যে \text { } অমূলদ/মূলদ \text { } সংখ্যা}\\
&ক) \text { } 0.12 \text { } এবং \text { } 0.31 \text { } -এর \text { } মধ্যে \text { } দুটি \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা \text { } হিসেবে \text { } নেওয়া \text { } যায়\\
&\sqrt{0.03}\approx 0.1732...,\quad \quad \sqrt{0.08}\approx 0.2828...\\
&দুটিই \text { } 0.12 \text { } ও \text { } 0.31 \text { } -এর \text { } মধ্যে \text { } এবং \text { } অমূলদ।\\
&উত্তর: \text { } \sqrt{0.03},\ \sqrt{0.08}\\
&বিকল্পঃ \\
&মনে \text { } করি,\\
&একটি \text { } সংখ্যা \text { } a=0.301001000100001……………..\\
&এবং \text { } অপর \text { } সংখ্যা \text { } b=0.302002000200002……….\\
&স্পষ্টতঃ \text { } a \text { } ও \text { } b \text { } উভয়ই \text { } দুইটি \text { } বাস্তব \text { } সংখ্যা \text { } এবং \text { } উভয় \text { } 0.31 \text { } অপেক্ষা \text { } ছোট\\
&\text { } এবং \text { } 0.12 \text { } অপেক্ষা \text { } বড়।\\
&অর্থাৎ, \text { } 0.31>0.3010010001………>0.12\\
&এবং, \text { } 0.31>0.3020020002………..>0.12\\
&আবার, \text { } a \text { } ও \text { } b \text { } কে \text { } ভগ্নাংশ \text { } আকারে \text { } প্রকাশ \text { } করা \text { } যায় \text { } না।\\
&a \text { } ও \text { } b, \text { } 0.31 \text { } এবং \text { } 0.12 \text { } এর \text { } মাঝখানে \text { } অবস্থিত।\\
&∴ \text { } a \text { } ও \text { } b \text { } দুইটি \text { } নির্ণেয় \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা।\\
&খ) \text { } প্রথমে\\
&\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.7071...,\quad \quad \sqrt{2}\approx 1.4142...\\
&একটি \text { } মূলদ \text { } সংখ্যা:
1\\
&একটি \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা \text { } হিসেবে
\sqrt{\frac{3}{2}}\approx 1.2247...
নেওয়া \text { } যায়।\\
&উত্তর: \text{মূলদ:\ }1,\quad \quad \text{অমূলদ:\ }\sqrt{\frac{3}{2}}\\
&বিকল্পঃ \\
&এখানে,\\
&\frac{1}{\sqrt 2}=0.707106\ldots .√2=1.4142……\\
&∴ 0.707106 \text { } ও \text { } 1.4142 \text { } এর \text { } মাঝখানে \text { } একটি \text { } মূলদ \text { } সংখ্যা \text { } a=1\\
&∴ 0.707106 \text { } ও \text { } 1.4142 \text { } এর \text { } মাঝখানে \text { } একটি \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা \text { } b=0.8071010010001……\\
&∴ a \text { } নির্ণেয় \text { } মূলদ \text { } ও \text { } b \text { } নির্ণেয় \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা।\\
&\mathbf{৭। \text { } দুটি \text { } ক্রমিক \text { } জোড় \text { } সংখ্যার \text { } গুণফল \text { } 8 \text { } দ্বারা \text { } বিভাজ্য}\\
&ধরি, \text { } দুটি \text { } ক্রমিক \text { } জোড় \text { } সংখ্যা \text { } 2n,\quad 2n+2\\
&\ গুনফল\ =\left(2n\right)\left(2n+2\right)=2n.2\left(n+1\right)=4n\left(n+1\right)\\
&n \text { } ও \text { } n+1 \text { } ক্রমিক \text { } দুটি \text { } পূর্ণসংখ্যা; \text { } তাই \text { } এদের \text { } একটি \text { } অবশ্যই \text { } জোড়। \\
&\text { } ফলে \text { } n(n+1) \text { } জোড়।\\
&সুতরাং \text { } 4n\left(n+1\right)=8k\\
&কোনো \text { } পূর্ণসংখ্যা \text { } k \text { } -এর \text { } জন্য \text { } এটি \text { } 8 \text { } দ্বারা \text { } বিভাজ্য। \text { } (প্রমাণিত)\\
&\mathbf{৮। \text { } সাধারণ \text { } ভগ্নাংশকে \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিকে \text { } প্রকাশ}\\
&ক) \text { } \frac{1}{6}=0.1666666....=0.1\dot{6}\\
&খ) \text { } \frac{7}{11}=0.63636363...=0.\dot{6}\dot{3}\\
&গ) \text { } 3\frac{2}{9}=\frac{29}{9}=3.222222...=3.\dot{2}\\
&ঘ) \text { } 3\frac{8}{15}=\frac{53}{15}=3.5333333...=3.5\dot{3}\\
&\mathbf{৯। \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিককে \text { } সাধারণ \text { } ভগ্নাংশে \text { } প্রকাশ}\\
&ক) x=0.\dot{2}\\
&বা,\ 10x=2.\dot{2}\\
&বা,9x=2\\
&বা,x=\frac{2}{9}\\
&বিকল্পঃ \text { } 0.\dot{2}=\frac{2}{9}\\
&খ) x=0.\dot{3}\dot{5}\\
&বা,\ 100x=35.\dot{3}\dot{5}\\
&বা,99x=35\\
&বা,\ x=\frac{35}{99}\\
&বিকল্পঃ \text { } 0.\dot{3}\dot{5}=\frac{35}{99}\\
&গ) x=0.1\dot{3}\\
&বা,10x=1.\dot{3}\\
&বা,100x=13.\dot{3}\\
&বা,90x=12\\
&বা,x=\frac{12}{90}\\
&বা,x=\frac{2}{15}\\
&বিকল্পঃ \text { } 0.1\dot{3}=\frac{13-1}{90}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}\\
&ঘ) x=3.7\dot{8}\\
&বা,10x=37.\dot{8}\\
&বা,100x=378.\dot{8}\\
&বা,90x=341\\
&বা,x=\frac{341}{90}\\
&বিকল্পঃ \text { } 3.7\dot{8}=\frac{378-37}{90}=\frac{341}{90}\\
&ঙ) x=6.2\dot{3}0\dot{9}\\
&বা,10x=62.\dot{3}0\dot{9}\\
&বা,10000x=62309.\dot{3}0\dot{9}\\
&বা,9990x=62247\\
&বা,x=\frac{62247}{9990}\\
&বা,x=\frac{20749}{3330}\\
&বিকল্পঃ \text { } 6.2\dot{3}0\dot{9}=\frac{62309-62}{9990}=\frac{62247}{9990}=\frac{20749}{3330}\\
&\mathbf{১০। \text { } সদৃশ \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } ভগ্নাংশে \text { } প্রকাশ}\\
&সদৃশ \text { } করতে \text { } অনাবৃত্ত \text { } অংশের \text { } অঙ্কসংখ্যা \text { } সমান \text { } করতে \text { } হবে।\\
&ক) \text { } 2.2\dot{3},\quad 5.2\dot{3}\dot{5}\\
&এখানে, \text { } অনাবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 1 \text { } টি \text { } এবং \\
& \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 1 \text { } ও \text { } 2 \text { } এর \text { } লসাগু \text { } =2 \text { } টি।\\
&\Rightarrow \quad 2.2\dot{3}\dot{3},\quad 5.2\dot{3}\dot{5}\\
&খ) \text { } 7.2\dot{6},\quad 4.23\dot{7}\\
&এখানে, \text { } অনাবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 2 \text { } টি \text { } এবং\\
& \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 1, \text { } ও \text { } 1 \text { } এর \text { } লসাগু \text { } =1 \text { } টি।\\
&\Rightarrow \quad 7.26\dot{6},\quad 4.23\dot{7}\\
&গ) \text { } 5.\dot{7},\quad 8.\dot{3}\dot{4},\quad 6.\dot{2}4\dot{5}\\
&এখানে, \text { } অনাবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 0 \text { } টি \text { } এবং \\
&\text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 1, \text { } 2 \text { } ও \text { } 3 \text { } এর \text { } লসাগু \text { } =6 \text { } টি।\\
&\Rightarrow \quad 5.\dot{7}7777\dot{7},\quad 8.\dot{3}4343\dot{4},\quad 6.\dot{2}4524\dot{5}\\
&ঘ) \text { } 12.32,\quad 2.1\dot{9},\quad 4.32\dot{5}\dot{6}\\
&এখানে, \text { } অনাবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 2 \text { } টি \text { } এবং \\
&\text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 1 \text { } ও \text { } 2 \text { } এর \text { } লসাগু \text { } =2 টি।\\
&\Rightarrow \quad 12.32\dot{0}\dot{0},\quad 2.19\dot{9}\dot{9},\quad 4.32\dot{5}\dot{6}\\
&\mathbf{১১। \text { } যোগ \text { } করো}\\
&\mathbf{ক) \text { } 0.4\dot{5}+0.1\dot{3}\dot{4}}\\
&=\frac{45-4}{90}+\frac{134-1}{990}\\
&=\frac{41}{90}+\frac{133}{990}\\
&=\frac{451+133}{990}\\
&=\frac{584}{990}\\
&=0.5\dot{8}\dot{9}\\
&বিকল্পঃ \\
&0.4\dot{5}+0.1\dot{3}\dot{4}\\
&এখানে, \text { } অনাবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 1 \text { } টি \text { } এবং \\
&\text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 1 \text { } ও \text { } 2 \text { } এর \text { } লসাগু \text { } =2 \text { } টি।\\
&\ \ \ \ \ \ 0.4\dot{5}=0.4\dot{5}\dot{5}\\
&\ \ \ \ \ \ 0.1\dot{3}\dot{4}=0.1\dot{3}\dot{4}\\
& 0.455+0.134 = 0.589\\
&দশমিকের \text { } পরে \text { } সর্ব \text { } বামের \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখ্যার \text { } পরের \\
&\text { } সংখ্যার \text { } যোগফল \text { } = 5+4 \text { } = 9 \text { } হাতের \text { } সংখ্যা = 0\\
&দশমিকের \text { } পরে \text { } সর্ব \text { } বামের \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখ্যার \\
&\text { } যোগফল \text { } = 5+3+0 \text { } = 8 \text { } হাতের \text { } সংখ্যা = 0\\
&0.589 +0.000= 0.589\\
&সুতরাং \text { } নির্ণেয় \text { } যোগফল =0.5\dot{8}\dot{9}\\
&\mathbf{খ) \text { } 2.0\dot{5}+8.0\dot{4}+7.018}\\
&=\frac{205-20}{90}+\frac{804-80}{90}+\frac{7018}{1000}\\
&=\frac{185}{90}+\frac{724}{90}+\frac{7018}{1000}\\
&=\frac{18500+72400+63162}{9000}\\
&=\frac{154062}{9000}\\
&=17.118\\
&বিকল্পঃ\\
&2.0\dot{5}+8.0\dot{4}+7.018\\
&এখানে, \text { } অনাবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 3 \text { } টি \text { } এবং \\
&\text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 1 \text { } ও \text { } 1 \text { } এর \text { } লসাগু \text { } =1 \text { } টি।\\
&2.055\dot{5},8.044\dot{4},7.018\dot{0}\\
&2.0555+8.0444+7.0180 = 17.1179\\
&দশমিকের \text { } পরে \text { } সর্ব \text { } বামের \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখ্যার \text { } পরের \\
&\text { } সংখ্যার \text { } যোগফল = 5+4+0 \text { } =9 \text { } হাতের \text { } সংখ্যা = 0\\
&17.1179 + 0.0000 = 17.1179\\
&সুতরাং \text { } নির্ণেয় \text { } যোগফল \text { } =17.117\dot{9}\\
&\mathbf{গ) \text { } 0.00\dot{6}+0.\dot{9}\dot{2}+0.\dot{1}3\dot{4}}\\
&=\frac{6}{900}+\frac{92}{99}+\frac{134}{999}\\
&=\frac{7326+1021200+147400}{1098900}\\
&=\frac{1175926}{1098900}\\
&=1.07\dot{0}0937\dot{3}\\
&বিকল্পঃ\\
&0.00\dot{6}+0.\dot{9}\dot{2}+0.\dot{1}3\dot{4}\\
&এখানে, \text { } অনাবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 0 \text { } টি \text { } এবং \\
&\text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 1, \text { } 2 \text { } ও \text { } 3 \text { } এর \text { } লসাগু \text { } =6 \text { } টি।\\
&0.00\dot{6}6666\dot{6},0.92\dot{9}2929\dot{2},0.13\dot{4}1341\dot{3}\\
&0.00666666+0.92929292+0.13413413 = 1.07009371\\
&দশমিকের \text { } পরে \text { } সর্ব \text { } বামের \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখ্যার \text { } পরের \\
&\text { } সংখ্যার \text { } যোগফল \text { } = 6+2+1+1 \text { } [ হাতের \text { } সংখ্যা ] = 10 \text { } হাতের \text { } সংখ্যা = 1\\
&দশমিকের \text { } পরে \text { } সর্ব \text { } বামের \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখ্যার \\
&\text { } যোগফল \text { } = 6+9+4+1 \text { } = 20 \text { } হাতের \text { } সংখ্যা = 2\\
&1.07009371+0.00000002=1.07009373\\
&সুতরাং \text { } নির্ণেয় \text { } যোগফল =1.07\dot{0}0937\dot{3}\\
&\mathbf{১২। \text { } বিয়োগ \text { } করো}\\
&\mathbf{ক) 3.\dot{4}-2.1\dot{3}}\\
&=\frac{34-3}{9}-\frac{213-21}{90}\\
&=\frac{31}{9}-\frac{192}{90}\\
&=\frac{310-192}{90}\\
&=\frac{118}{90}\\
&=1.3\dot{1}\\
&বিকল্পঃ\\
&3.\dot{4}-2.1\dot{3}\\
&এখানে, \text { } অনাবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 1 \text { } টি \text { } এবং \\
&\text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 1 \text { } ও \text { } 1 \text { } এর \text { } লসাগু \text { } =1 \text { } টি।\\
&3.4\dot{4},2.1\dot{3}\\
&3.44-2.13=1.31\\
&দশমিকের \text { } পরে \text { } সর্ব \text { } বামের \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখ্যার\\ &\text { } বিয়োগফল \text { } = 4-3 \text { } = 1 \text { } হাতের \text { } সংখ্যা = 0\\
&1.31-0.00=1.31\\
&সুতরাং \text { } নির্ণেয় \text { } বিয়োগফল =1.3\dot{1}\ \\
&\mathbf{খ) \text { } 5.\dot{1}\dot{2}-3.4\dot{5}}\\
&=\frac{512-5}{99}-\frac{345-34}{90}\\
&=\frac{507}{99}-\frac{311}{90}\\
&=\frac{5070-3421}{990}\\
&=\frac{1649}{990}\\
&=1.6\dot{6}\dot{5}\\
&বিকল্পঃ\\
&5.\dot{1}\dot{2}-3.4\dot{5}\\
&এখানে, \text { } অনাবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 1 \text { } টি \text { } এবং \\
& \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 2 \text { } ও \text { } 1 \text { } এর \text { } লসাগু =2 \text { } টি।\\
&5.1\dot{2}\dot{1},3.4\dot{5}\dot{5}\\
&5.121-3.455=1.666\\
&দশমিকের \text { } পরে \text { } সর্ব \text { } বামের \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখ্যার\\ &\text { } বিয়োগফল \text { } =2-(5+1 \text { } [ হাতের \text { } সংখ্যা ] ) = 6 \text { } হাতের \text { } সংখ্যা = 1\\
&1.666-0.001=1.665\\
&সুতরাং \text { } নির্ণেয় \text { } বিয়োগফল \text { } =1.6\dot{6}\dot{5}\ \\
&\mathbf{গ) \text { } 8.49-5.3\dot{5}\dot{6}}\\
&=\frac{849}{100}-\frac{5356-53}{990}\\
&=\frac{849}{100}-\frac{5303}{990}\\
&=\frac{84051-53030}{9900}\\
&=\frac{31021}{9900}\\
&=3.13\dot{3}\dot{4}\\
&বিকল্পঃ\\
&8.49-5.3\dot{5}\dot{6}\\
&এখানে, \text { } অনাবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 2 \text { } টি \text { } এবং \\
&\text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে =2 \text { } টি।\\
&8.49\dot{0}\dot{0},5.35\dot{6}\dot{5}\\
&8.4900-5.3565=3.1335\\
&দশমিকের \text { } পরে \text { } সর্ব \text { } বামের \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখ্যার\\ &\text { } বিয়োগফল \text { } =0-(6+1 \text { } [ হাতের \text { } সংখ্যা ] ) = 3 \text { } হাতের \text { } সংখ্যা = 1\\
&3.1335-0.0001=3.1334\\
&সুতরাং \text { } নির্ণেয় \text { } বিয়োগফল =3.13\dot{3}\dot{4}\ \\
&\mathbf{ঘ) 19.34\dot{5}-13.2\dot{3}4\dot{9}}\\
&=\frac{19345-1934}{900}-\frac{132349-132}{9990}\\
&=\frac{17411}{900}-\frac{132217}{9990}\\
&=\frac{1932621-1322170}{99900}\\
&=\frac{610451}{99900}\\
&=6.11\dot{0}6\dot{2}\\
&বিকল্পঃ\\
&19.34\dot{5}-13.2\dot{3}4\dot{9}\\
&এখানে, \text { } অনাবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 2 \text { } টি \text { } এবং \\
& \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 1 \text { } ও \text { } 3 \text { } এর \text { } লসাগু =3 \text { } টি।\\
&19.34\dot{5}5\dot{5},13.23\dot{4}9\dot{3}\\
&19.34555-13.23493=6.11062\\
&দশমিকের \text { } পরে \text { } সর্ব \text { } বামের \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখ্যার\\ &\text { } বিয়োগফল \text { } =5-(4+1 \text { } [ হাতের \text { } সংখ্যা ] ) = 0 \text { } হাতের \text { } সংখ্যা = 0\\
&6.11062-0.00000=6.11062\\
&সুতরাং \text { } নির্ণেয় \text { } বিয়োগফল =6.11\dot{0}6\dot{2}\ \\
&\mathbf{১৩। \text { } গুণ \text { } করো}\\
&ক) \text { } 0.\dot{3}\times 0.\dot{6}\\
&=\frac{3}{9}\times \frac{6}{9}=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}=0.\dot{2}\\
&খ) \text { } 2.\dot{4}\times 0.\dot{8}\dot{1}\\
&=\frac{24-2}{9}\times \frac{81}{99}=\frac{22}{9}\times \frac{81}{99}=\frac{1782}{891}=2\\
&গ) \text { } 0.6\dot{2}\times 0.\dot{3}\\
&=\frac{62-6}{90}\times \frac{3}{9}\\
&=\frac{56}{90}\times \frac{3}{9}\\
&=\frac{168}{810}\\
&=0.2\dot{0}7\dot{4}\\
&ঘ) \text { } 42.\dot{1}\dot{8}\times 0.2\dot{8}\\
&=\frac{4218-42}{99}\times \frac{28-2}{90}\\
&=\frac{4176}{99}\times \frac{26}{90}\\
&=\frac{108576}{8910}\\
&=12.1\dot{8}\dot{5}\\
&\mathbf{১৪। \text { } ভাগ \text { } করো}\\
&ক) \text { } 0.\dot{3}\div 0.\dot{6}\\
&=\frac{3}{9}\div \frac{6}{9}=\frac{3}{9}\times \frac{9}{6}=\frac{27}{54}=0.5\\
&খ) \text { } 0.3\dot{5}\div 1.\dot{7}\\
&=\frac{35-3}{90}\div \frac{17-1}{9}\\
&=\frac{32}{90}\div \frac{16}{9}\\
&=\frac{32}{90}\times \frac{9}{16}\\
&=\frac{288}{1440}\\
&=0.2\\
&গ) \text { } 2.3\dot{7}\div 0.4\dot{5}\\
&=\frac{237-23}{90}\div \frac{45-4}{90}\\
&=\frac{214}{90}\div \frac{41}{90}\\
&=\frac{214}{90}\times \frac{90}{41}\\
&=\frac{19260}{3690}\\
&=5.\dot{2}195\dot{1}\\
&\ ঘ) \text { } \ 1.\dot{1}8\dot{5}\div 0.\dot{2}\dot{4}\\
&=\frac{1185-1}{999}\div \frac{24-0}{99}\\
&=\frac{1184}{999}\div \frac{24}{99}\\
&=\frac{1184}{999}\times \frac{99}{24}\\
&=\frac{117216}{23976}\\
&=4.\dot{8}\\
&\mathbf{১৫। \text { } চার \text { } দশমিক \text { } স্থান \text { } পর্যন্ত \text { } বর্গমূল \text { } এবং \text { } তিন \text { } দশমিক \text { } স্থান \text { } পর্যন্ত \text { } আসন্ন \text { } মান}\\
&ক)\ \sqrt{12}\approx 3.4641\\
&চার \text { } দশমিক \text { } স্থান \text { } পর্যন্ত: \text { } 3.4641; \text { } তিন \text { } দশমিক \text { } স্থান \text { } পর্যন্ত \text { } আসন্ন \text { } মান: \text { } 3.464।\\
&খ) \text { } \sqrt{0.\dot{2}\dot{5}}\\
&=\sqrt{\frac{25}{99}}\\
&=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{99}}\\
&≈0.5025\\
&চার \text { } দশমিক \text { } স্থান \text { } পর্যন্ত: \text { } 0.5025; \text { } তিন \text { } দশমিক \text { } স্থান \text { } পর্যন্ত \text { } আসন্ন \text { } মান: \text { } 0.503।\\
&গ) \text { } \ \sqrt{1.\dot{3}\dot{4}}\\
&=\sqrt{\frac{134-1}{99}}\\
&=\sqrt{\frac{133}{99}}\\
&=\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{99}}\\
&≈1.1590\\
&চার \text { } দশমিক \text { } স্থান \text { } পর্যন্ত: \text { } 1.1590; \text { } তিন \text { } দশমিক \text { } স্থান \text { } পর্যন্ত \text { } আসন্ন \text { } মান: \text { } 1.160।\\
&ঘ) \text { } \sqrt{5.1\dot{3}0\dot{2}}\\
&=\sqrt{\frac{51302-51}{9990}}\\
&=\sqrt{\frac{51251}{9990}}\\
&=\frac{\sqrt{51251}}{\sqrt{9990}}\\
&≈2.2650\\
&চার \text { } দশমিক \text { } স্থান \text { } পর্যন্ত: \text { } 2.2650; \text { } তিন \text { } দশমিক \text { } স্থান \text { } পর্যন্ত \text { } আসন্ন \text { } মান: \text { } 2.265।\\
&\mathbf{১৬। \text { } মূলদ \text { } ও \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা \text { } চিহ্নিত \text { } করো}\\
&ক) \text { } 0.\dot{4}\\
&=\frac{4}{9}\\
&উত্তর: \text { } মূলদ\\
&খ) \text { } \sqrt{9}\\
&=3\\
&উত্তর: \text { } মূলদ\\
&গ) \text { } \sqrt{11}\approx 3.3166247903554…..\\
&উত্তর: \text { } অমূলদ\\
&ঘ) \text { } \ \frac{\sqrt{6}}{3}\approx 0.816496580927726\ldots ..\\
&উত্তর: \text { } অমূলদ \\
&ঙ) \text { } \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{7}}\\
&=\sqrt{\frac{8}{7}}\\
&≈1.069044967649698…..\\
&উত্তর: \text { } অমূলদ\\
&চ) \text { } \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{48}}\\
&=\frac{\sqrt{9\times 3}}{\sqrt{16\times 3}}\\
&=\frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}\\
&=\frac{3}{4}\\
&উত্তর: \text { } মূলদ\\
&ছ) \text { } \frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{7}}\\
&=\frac{2}{3}\times \frac{7}{3}\\
&=\frac{14}{9}\\
&উত্তর: \text { } মূলদ\\
&জ) \text { } \ \ 5.\dot{6}3\dot{9}\\
&=\frac{5639-5}{999}\\
&=\frac{5634}{999}\\
&উত্তর: \text { } মূলদ \\
&\mathbf{নমুনা \text { } প্রশ্ন \text { } — বহুনির্বাচনি}\\
&\mathbf{১। \text { } তিনটি \text { } ক্রমিক \text { } স্বাভাবিক \text { } সংখ্যার \text { } গুণফল \text { } সর্বদাই \text { } কোন \text { } সংখ্যা \text { } দ্বারা \text { } বিভাজ্য?}\\
&তিনটি \text { } ক্রমিক \text { } সংখ্যার \text { } মধ্যে \text { } একটি \text { } জোড় \text { } এবং \text { } অন্তত \text { } একটি \text { } 3 \text { } দ্বারা \text { } বিভাজ্য। \\
& \text { } তাই \text { } গুণফল \text { } 2×3 = 6 \text { } দ্বারা \text { } বিভাজ্য।\\
&উত্তর: \text { } 6\\
&\mathbf{২। \text { } a \text { } ও \text { } b \text { } দুটি \text { } ক্রমিক \text { } জোড় \text { } সংখ্যা \text { } হলে \text { } কোনটি \text { } বিজোড়?}\\
&a \text { } এবং \text { } b \text { } উভয়ই \text { } জোড়, \text { } তাই \text { } a^{2}\ \text { } এবং \text { } b^{2} \text { } জোড়।\\
&সুতরাং \text { }
a^{2}+1 \text { } বিজোড়\\
&জোড়ের \text { } সঙ্গে \text { } ১ \text { } যোগ \text { } করলে \text { } বিজোড় \text { } হয়।\\
&উত্তর: a^{2}+1\\
&\mathbf{৩। \text { } a=\sqrt{3} \text { } এবং \text { } b=\sqrt{12}\ \text { } হলে \text { } কোন \text { } বক্তব্যগুলো \text { } সঠিক?}\\
&a \text { } =\sqrt{3},\quad \quad b=\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}\\
&i. \text { } ab=\sqrt{3}\times \sqrt{12}=\sqrt{3\times 12}=\sqrt{36}=6 \text { } একটি \text { } মূলদ \text { } সংখ্যা\\
&ii. \text { } \frac{a}{b}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\ \ একটি\ মূলদ\ সংখ্যা\\
&iii. \text { } a+b=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \ \ \ একটি\ বাস্তব\ সংখ্যা।\ \\
& তাই \text { } তিনটিই \text { } সঠিক।\\
&উত্তর: \text { } i, \text { } ii \text { } ও \text { } iii\\
&\mathbf{৪। \text { } a=\sqrt{3}\ ও \text { } b=\sqrt{12\ } \text { } -এর \text { } মধ্যে \text { } একটি \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা \text { } কোনটি?}\\
&\sqrt{3}\approx 1.732,\quad \quad \sqrt{12}\approx 3.464\\
&\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2.598\\
&এটি \text { } সীমার \text { } মধ্যে \text { } এবং \text { } অমূলদ।\\
&উত্তর:\ \ \frac{3\sqrt{3}}{2}\\
&\mathbf{সৃজনশীল \text { } প্রশ্ন}\\
&\mathbf{৫। \text { } n=2m−1, \text { } যেখানে \text { } m∈N}\\
&\mathbf{ক)\ যোগ\ করো:\ \ 0.\dot{7}+0.1\dot{5}}\\
&=\frac{7}{9}+\frac{15-1}{90}\\
&=\frac{7}{9}+\frac{14}{90}\\
&=\frac{70+14}{90}\\
&=\frac{84}{90}\\
&=0.9\dot{3}\\
&উত্তর: 0.9\dot{3}\\
&\mathbf{খ) \text { } দেখাও, {\boldsymbol{n}}^{2}\ \ থেকে \text { } 1 \text { } বিয়োগ \text { } করলে \text { } বিয়োগফল \text { } 8 \text { } দ্বারা \text { } বিভাজ্য।}\\
&n=2m-1\\
&n^{2}-1={\left(2m-1\right)}^{2}-1\\
&={\left(2m\right)}^{2}-2.2m.1+1^{2}-1\\
&=4m^{2}-4m+1-1\\
&=4m^{2}-4m\\
&=4m\left(m-1\right)\\
&m \text { } ও \text { } m−1 \text { } ক্রমিক \text { } দুটি \text { } পূর্ণসংখ্যা; \text { } তাই \text { } তাদের \text { } একটি \text { } জোড়। \\
&\text { } ফলে \text { } m(m−1)=2k, \text { } কোনো \text { } পূর্ণসংখ্যা \text { } k \text { } -এর \text { } জন্য।\\
&n^{2}-1=4\left(2k\right)=8k\\
&অতএব \text { } n²−1 \text { } সর্বদা \text { } 8 \text { } দ্বারা \text { } বিভাজ্য। \text { } (দেখানো হল) \\
&\mathbf{গ) \text { } m=3 \text { } হলে \text { } প্রমাণ \text { } কর \text { } যে, \text { } \sqrt{\boldsymbol{n}}\ \ একটি \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা । }\\
&m=3 \text { } হলে\\
&n=2\left(3\right)-1=5\\
&তাই \text { }
\sqrt{n}=\sqrt{5}\\
&আমরা \text { } জানি,\\
&4 < 5 < 9\\
&বা, √4 < √5 < √9\\
&∴ 2 < √5 < 3\\
&অর্থাৎ, \text { } √5 \text { } এমন \text { } একটি \text { } সংখ্যা \text { } যা \text { } 2 \text { } এর \text { } থেকে \text { } বড় \text { } কিন্তু \text { } 3 \text { } এর \text { } থেকে \text { } ছোট। \\
&\text { } কিন্তু \text { } 2 \text { } এর \text { } থেকে \text { } বড় \text { } এবং \text { } 3 \text { } এর \text { } থেকে \text { } ছোট \text { } কোনো \text { } পূর্ণসংখ্যা \text { } থাকতে \text { } পারে \text { } না। \\
&\text { } অর্থাৎ, \text { } এটি \text { } মূলদ \text { } বা \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা।\\
&মনে \text { } করি, \text { } √5 \text { } একটি \text { } মূলদ \text { } সংখ্যা।\\
&তাহলে, \text { } √5 = \frac{p}{q} \text { } [এখানে \text { } p, \text { } q \text { } উভয়ে \text { } স্বাভাবিক \text { } সংখ্যা, \text { } q≠0 \\
&\text { } এবং \text { } p, \text { } q \text { } পরষ্পর \text { } সহমৌলিক।]\\
&ফলে, \text { } 5 = \frac{p^{2}}{q^{2}} \text { } [উভয় \text { } পক্ষকে \text { } বর্গ \text { } করে।]\\
&বা, 5q = \frac{p^{2}}{q} \text { } [উভয় \text { } পক্ষকে \text { } q \text { } দ্বারা \text { } গুন \text { } করে।]\\
&এখানে, \text { } 5q \text { } স্পষ্টত \text { } পূর্ণ \text { } সংখ্যা। \text { } কিন্তু \text { } p \text { } এবং \text { } q \text { } -এর \text { } মধ্যে \text { } কোনো \text { } সাধারণ \\
&\text { } উৎপাদক \text { } নেই। \text { } তাই \text { } \frac{p^{2}}{q} \text { } পূর্ণ \text { } সংখ্যা \text { } নয়।\\
&সুতরাং, \text { } \frac{p^{2}}{q} \text { } কখনো \text { } 5q \text { } -এর \text { } সমান \text { } হতে \text { } পারে \text { } না।\\
&সুতরাং, \text { } √5 = \frac{p}{q} \text { } হতে \text { } পারে \text { } না।\\
&অতএব, \text { } √5 \text { } একটি \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা। \text { } (প্রমাণিত)\\
&সংক্ষিপ্ত \text { } -উত্তর \text { } প্রশ্ন\\
&\mathbf{৬ \text { } (ক)। \text { } a=0.\dot{2} \text { } এবং \text { } \ b=0.\dot{3} \text { } হলে \text { } দেখাও, \text { } a+b \text { } মূলদ}\\
&a=0.\dot{2}=\frac{2}{9},\quad \quad b=0.\dot{3}=\frac{3}{9}\\
&a+b=\frac{2}{9}+\frac{3}{9}=\frac{2+3}{9}=\frac{5}{9}\ \ একটি\ মূলদ\ সংখ্যা\ \ \ \ \ (প্রমাণিত)\\
&\mathbf{৬ (খ)। \text { } বর্গমূল \text { } নির্ণয় \text { } না \text { } করে \text { } দেখাও, \text { } \sqrt{10\ }সংখ্যা \text { } 3 \text { } ও \text { } 4 \text { } -এর \text { } মধ্যে}\\
&3^{2}=9\lt {\left(\sqrt{10}\right)}^{2}\lt 16=4^{2}\\
&তাই \text { } উভয় \text { } সংখ্যা \text { } ধনাত্মক \text { } হওয়ায়\\
&3\lt \sqrt{10}\lt 4\ \ \ \ (প্রমাণিত)\\
&\mathbf{৬(গ)। \text { } 1.25\dot{7}\dot{4}\ ও\ \ 0.3\dot{6}1\dot{2}-\ কে \text { } সদৃশ \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } ভগ্নাংশে \text { } প্রকাশ}\\
&প্রথম \text { } সংখ্যায় \text { } অনাবৃত্ত \text { } অংশের \text { } অঙ্ক \text { } 2 \text { } টি \text { } এবং \text { } আবৃত্ত \text { } অংশের \text { } অঙ্ক \text { } 2 \text { } টি। \\
& \text { } দ্বিতীয়টিতে \text { } অনাবৃত্ত \text { } অংশের \text { } অঙ্ক \text { } 1 \text { } টি \text { } এবং \text { } আবৃত্ত \text { } অংশের \text { } অঙ্ক \text { } 3 \text { } টি। \\
&এখানে, \text { } অনাবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \text { } হবে \text { } 2 \text { } টি \text { } এবং \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } সংখা \\
&\text { } হবে \text { } 2 \text { } ও \text { } 3 \text { } এর \text { } লসাগু \text { } =6 \text { } টি।\\
&1.25\dot{7}\dot{4}=1.25747474\ldots \\
&0.3\dot{6}1\dot{2}=0.36126126\ldots \\
&অতএব \text { } সদৃশ \text { } রূপ:\\
&1.25\dot{7}4747\dot{4},\ \ \ 0.36\dot{1}2612\dot{6}\\
&উত্তর:\ \ 1.25\dot{7}4747\dot{4},0.36\dot{1}2612\dot{6}\\
&\mathbf{পরীক্ষার \text { } আগে \text { } দ্রুত \text { } পুনরাবৃত্তি}\\
&1.\text { } ১ \text { } মৌলিক \text { } সংখ্যা \text { } নয়।\\
&2. \text { } সসীম \text { } বা \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } = \text { } মূলদ \text { } সংখ্যা।\\
&3. \text { } অসীম \text { } অনাবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } = \text { } অমূলদ \text { } সংখ্যা।\\
&4. \text { } \sqrt{n} \text { } অমূলদ \text { } হবে \text { } যখন \text { } n \text { } পূর্ণবর্গ \text { } নয় \text { } (n \text { } একটি \text { } ধনাত্মক \text { } পূর্ণসংখ্যা \text { } হলে)।\\
&5. \text { } 0.\dot{a}=\frac{a}{9}\ \ এবং\ \ 0.\dot{a}\dot{b}=\frac{ab}{99}\\
&6. \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিকের \text { } যোগ/বিয়োগের \text { } আগে \text { } সদৃশ \text { } আবৃত্ত \text { } দশমিক \text { } তৈরি \text { } করা \text { } সুবিধাজনক।\\
&7. \text { } ক্রমিক \text { } জোড় \text { } সংখ্যার \text { } গুণফল \text { } 8 \text { } দ্বারা \text { } বিভাজ্য \text { } প্রমাণে \text { } 4n(n+1) \text { } রূপটি \text { } মনে \text { } রাখো।\\
&8. \text { } বর্গমূলের \text { } আসন্ন \text { } মানে \text { } নির্দিষ্ট \text { } দশমিকের \text { } পরের \text { } অঙ্কটি \text { } দেখে \text { } rounding \text { } করতে \text { } হবে।
\end{align*}