৭ম শ্রেণির অনুশীলনী ৫.৪: বীজগণিতীয় রাশিমালা (ল.সা.গু. ও গ.সা.গু.)
\begin{align*}
&\mathbf{ক. \text{ } বহুনির্বাচনী \text{ } প্রশ্ন \text{ } (১ – ১১)}\\
&\mathbf{১. (a – 5) \text{ } এর \text{ } বর্গ \text{ } কোনটি?}\\
&(ক) a²+10a+25 \text{ } \text{ } (খ) a²-10a+25 \text{ } \text{ } (গ) a²+5a+25 \text{ } \text{ } (ঘ) a²-5a+25\\
&সমাধানঃ\\
&\left(a-5\right)²\\
&=a²-2.a.5+5²\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[সূত্র\left(a-b\right)²=a²-2ab+b²\right]\\
&=a²-10a+25\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } (খ) \text{ } a²-10a+25\\
&\mathbf{২.\left(x+y\right)²+2\left(x+y\right)\left(x-y\right)+\left(x-y\right)² \text{ } এর \text{ } মান \text{ } কোনটি?}\\
&(ক) 8x² \text{ } \text{ } (খ) 8y² \text{ } \text{ } (গ) 4x² \text{ } \text{ } (ঘ) 4y²\\
&সমাধানঃ\\
&ধরি, \text{ } x+y=a \text{ } এবং \text{ } x-y=b\\
&প্রদত্ত \text{ } রাশি =a²+2ab+b²\\
&=\left(a+b\right)² \text{ } [সূত্র \left(a+b\right)²=a²+2ab+b²\ \ ]\\
&= \left(x+y\right)+\left(x-y\right)² \text{ } [a \text{ } ও \text{ } b \text{ } এর \text{ } মান \text{ } বসিয়ে]\\
&= \left(x+y+x-y\right)²\\
&= \left(2x\right)²\\
&= 4x²\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } (গ) \text{ } 4x²\\
\end{align*}
Visit and Download The Complete Exercise 5.4 of Class 7 in PDF Version Free :
Link 1: https://drive.google.com/file/d/1JrtwaBAVaXYpLG2HMiwp__z86o2NiLez/view?usp=sharing
Link 2:
https://naharmath.com/wp-content/uploads/2026/09/class-7-math-exercises-5-4-solution-bangla.pdf
\begin{align*}
&\mathbf{৩. a+b=4 \text{ } এবং \text{ } a-b=2 \text{ } হলে, \text{ } ab \text{ } এর \text{ } মান \text{ } কত?}\\
&(ক) 3 \text{ } \text{ } (খ) 8 \text{ } \text{ } (গ) 12 \text{ } \text{ } (ঘ) 16\\
&সমাধানঃ\\
&দেওয়া \text{ } আছে, \text{ } a+b=4 \text{ } এবং \text{ } a-b=2\\
&আমরা \text{ } জানি,\\
&ab=\left\{\frac{\left(a+b\right)}{2}\right\}²-\left\{\frac{\left(a-b\right)}{2}\right\}² \text{ } [ সূত্র ]\\
&=\left(\frac{4}{2}\right)²-\left(\frac{2}{2}\right)²\\
&=2²-1²\\
&=4-1\\
&=3\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } (ক) \text{ } 3\\
&\mathbf{৪. একটি \text{ } রাশি \text{ } অপর \text{ } একটি \text{ } রাশি \text{ } দ্বারা \text{ } নিঃশেষে \text{ } বিভাজ্য \text{ } হলে, \text{ } ভাজ্যকে \text{ } ভাজকের \text{ } কী \text{ } বলা \text{ } হয়?}\\
&(ক) ভাগফল \text{ } \text{ } (খ) ভাগশেষ \text{ } \text{ } (গ) গুণিতক \text{ } \text{ } (ঘ) গুণনীয়ক\\
&সমাধানঃ\\
&একটি \text{ } রাশি \text{ } অপর \text{ } একটি \text{ } রাশি \text{ } দ্বারা \text{ } নিঃশেষে \text{ } বিভাজ্য \text{ } হলে, \text{ } ভাজ্যকে \text{ } ভাজকের \\
&গুণিতক \text{ } এবং \text{ } ভাজককে \text{ } ভাজ্যের \text{ } গুণনীয়ক \text{ } বা \text{ } উৎপাদক \text{ } বলা \text{ } হয়।\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } (গ) \text{ } গুণিতক\\
&\mathbf{৫. 2a \text{ } ও \text{ } 3b \text{ } এর \text{ } গ.সা.গু. \text{ } কত?}\\
&(ক) 1 \text{ } \text{ } (খ) 6 \text{ } \text{ } (গ) ab \text{ } \text{ } (ঘ) 6ab\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =2a=2×a\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =3b=3×b\\
&রাশি \text{ } দুটির \text{ } সাধারণ \text{ } কোনো \text{ } মৌলিক \text{ } উৎপাদক \text{ } নেই, \text{ } কেবল \text{ } 1 \text{ } ছাড়া।\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. = 1\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } (ক) \text{ } 1\\
&\mathbf{৬. 9x²-25y² \text{ } এবং \text{ } 15ax-25ay \text{ } এর \text{ } ল.সা.গু \text{ } কত?}\\
&(ক) \left(3x+5y\right)\ \ \ \ (খ)\ \left(3x-5y\right)\ \ \ \ (গ) 9x²-25y² \text{ } \text{ } \text{ } \text{ } (ঘ) 5a\left(9x²-25y²\right)\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =9x²-25y² \text{ } =\left(3x\right)²-\left(5y\right)² \text{ } =\left(3x+5y\right)\left(3x-5y\right) \text{ } [সূত্র a²-b²=\left(a+b\right)\left(a-b\right)]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =15ax-25ay \text{ } =5a\left(3x-5y\right)\ \ \ \ \ \ [কমন]\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. =5a\left(3x+5y\right)\left(3x-5y\right) \text{ } =5a\left(9x²-25y²\right)\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } (ঘ) \text{ } 5a\left(9x²-25y²\right)\\
&\mathbf{৭. x³y⁵ \text{ } ও \text{ } a²-b² \text{ } এর \text{ } গ.সা.গু \text{ } কত?}\\
&(ক) x³y⁵ \text{ } \text{ } (খ) x²a² \text{ } \text{ } (গ) xy⁴ \text{ } \text{ } (ঘ) 1\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি = x³y⁵\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =a²-b²=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\\
&উভয় \text{ } রাশির \text{ } মধ্যে \text{ } সাধারণ \text{ } কোনো \text{ } উৎপাদক \text{ } নেই, \text{ } কেবল \text{ } 1 \text{ } বিদ্যমান।\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. = 1\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } (ঘ) \text{ } 1\\
&\mathbf{৮. x-\frac{1}{x}=0\ \ \ \ হলে—}\\
& \text{ } \text{ } (i) x=1\\
& \text{ } \text{ } (ii) x=-1\\
& \text{ } \text{ } (iii) x=±1\\
&নিচের \text{ } কোনটি \text{ } সঠিক?\\
&(ক) i ও ii \text{ } \text{ } (খ) ii ও iii \text{ } \text{ } (গ) i ও iii \text{ } \text{ } (ঘ) i, ii ও iii\\
&সমাধানঃ\\
&দেওয়া \text{ } আছে, x-\frac{1}{x}=0\\
&বা, \frac{x²-1}{x}=0\\
&বা, x^{2}-1=0.x\\
&বা, x²-1=0\\
&বা, x²=1\\
&বা, x=±√1\\
&বা, x=±1\\
&অর্থাৎ \text{ } x = 1 \text{ } অথবা \text{ } x = –1। \text{ } সুতরাং \text{ } (i), \text{ } (ii) এবং \text{ } (iii) \text{ } তিনটি \text{ } উক্তিই \text{ } সঠিক।\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } (ঘ) \text{ } i, \text{ } ii ও \text{ } iii\\
&\mathbf{৯. a+\frac{1}{a}=4 \text{ } হলে \text{ } a²-4a+1 \text{ } এর \text{ } মান \text{ } কত?}\\
&(ক) 4 \text{ } \text{ } (খ) 3 \text{ } \text{ } (গ) 2 \text{ } \text{ } (ঘ) 0\\
&সমাধানঃ\\
&দেওয়া \text{ } আছে, a+\frac{1}{a}=4\\
&উভয় \text{ } পক্ষকে \text{ } a \text{ } দ্বারা \text{ } গুণ \text{ } করে \text{ } পাই:\\
&a.a+a.\frac{1}{a}=4.a\\
&বা, a²+1=4a\\
&বা, a²-4a+1=0\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } (ঘ) \text{ } 0\\
&\mathbf{১০. a+5 \text{ } এর \text{ } বর্গ \text{ } কোনটি?}\\
&(ক) a²+10a+25 \text{ } \text{ } (খ) a²-10a+25 \text{ } \text{ } (গ) a²+5a+25 \text{ } \text{ } (ঘ) a²+5a-25\\
&সমাধানঃ\\
&\left(a+5\right)²\\
&=a²+2.a.5+5²\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[সূত্র\left(a+b\right)²=a²+2ab+b²\right]\\
&=a²+10a+25\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } (ক) \text{ } a²+10a+25\\
&\mathbf{১১. a+b=8, \text{ } a-b=4 \text{ } হলে \text{ } ab= \text{ } কত?}\\
&(ক) 8 \text{ } \text{ } (খ) 10 \text{ } \text{ } (গ) 12 \text{ } \text{ } (ঘ) 18\\
&সমাধানঃ\\
&দেওয়া \text{ } আছে, \text{ } a+b=8 \text{ } এবং \text{ } a-b=4\\
&আমরা \text{ } জানি,\\
&ab=\left\{\frac{\left(a+b\right)}{2}\right\}²-\left\{\frac{\left(a-b\right)}{2}\right\}² [ সূত্র ]\\
&=\left(\frac{8}{2}\right)²-\left(\frac{4}{2}\right)²\\
&=4²-2²\\
&=16-4\\
&=12\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } (গ) \text{ } 12\\
&\mathbf{খ. \text{ } গ.সা.গু. \text{ } নির্ণয় \text{ } করো \text{ } (১২ – ২১)}\\
&\mathbf{১২. 3a³b²c, \text{ } 6ab²c²}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =3a³b²c \text{ } =3×a×a×a×b×b×c\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =6ab²c² \text{ } =2×3×a×b×b×c×c\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. =3×a×b×b×c \text{ } =3ab²c\\
&\mathbf{১৩. 5ab²x², \text{ } 10a²by²}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি = 5ab²x² \text{ } =5×a×b×b×x×x\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =10a²by² \text{ } =2×5×a×a×b×y×y\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. =5ab\\
&\mathbf{১৪.3a²x², \text{ } 6axy², \text{ } 9ay²}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =3a²x² \text{ } =3×a×a×x×x\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =6axy² \text{ } =2×3×a×x×y×y\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি =9ay² \text{ } =3×3×a×y×y\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. =3a\\
&\mathbf{১৫. 16a³x⁴y, \text{ } 40a²y³x, \text{ } 28ax³}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =16a³x⁴y \text{ } =2×2×2×2×a×a×a×x×x×x×x×x×y\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =40a²y³x \text{ } =2×2×2×5×a×a×x×y×y×y\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি =28ax³ \text{ } =2×2×7×a×x×x×x\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. =4ax\\
&\mathbf{১৬. a²+ab, \text{ } a²-b²}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =a²+ab \text{ } =a\left(a+b\right) [কমন]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =a²-b² \text{ } =\left(a+b\right)\left(a-b\right) [সূত্র a²-b²=\left(a+b\right)\left(a-b\right) ] \\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. =\left(a+b\right)\\
&\mathbf{১৭. x³y-xy³, \text{ } \left(x-y\right)²}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =x³y-xy³ \text{ } =xy\left(x²-y²\right) [কমন]\\
&=xy\left(x+y\right)\left(x-y\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [সূত্র a²-b²=\left(a+b\right)\left(a-b\right) ]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =\left(x-y\right)² \text{ } =\left(x-y\right)\left(x-y\right)\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. =\left(x-y\right)\\
&\mathbf{১৮. x²+7x+12, \text{ } x²+9x+20}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =x²+7x+12 \text{ } =x²+4x+3x+12 [মিডল টার্ম ব্রেক]\\
&=x\left(x+4\right)+3\left(x+4\right) \text{ } =\left(x+4\right)(x+3) [কমন]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =x²+9x+20 \text{ } =x²+5x+4x+20 [মিডল টার্ম ব্রেক]\\
&=x\left(x+5\right)+4\left(x+5\right) \text{ } =\left(x+5\right)\left(x+4\right) [কমন]\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. =\left(x+4\right)\\
&\mathbf{১৯. a³-ab², \text{ } a⁴+2a³b+a²b²}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =a³-ab² \text{ } =a\left(a²-b²\right) [কমন]\\
&=a\left(a+b\right)\left(a-b\right)\ \ \ \ \ \ \ \ [সূত্র a²-b²=\left(a+b\right)\left(a-b\right)\ \ \ \ ]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি = a⁴+2a³b+a²b² \text{ } =a²\left(a²+2ab+b²\right) [কমন]\\
&=a²\left(a+b\right)² [ সূত্র \left(a+b\right)²=a²+2ab+b² ]\\
&=a.a\left(a+b\right)\left(a+b\right)\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. =a\left(a+b\right)\\
&\mathbf{২০. a²-16,3a+12, \text{ } a²+5a+4}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =a²-16 \text{ } =a²-4² \text{ } =\left(a+4\right)\left(a-4\right) [ সূত্র a²-b²=\left(a+b\right)\left(a-b\right) ]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =3a+12 \text{ } =3\left(a+4\right) [কমন]\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি =a²+5a+4 \text{ } =a²+4a+a+4 [মিডল টার্ম ব্রেক]\\
&=a\left(a+4\right)+1\left(a+4\right) \text{ } =\left(a+4\right)\left(a+1\right) [কমন]\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. =\left(a+4\right)\\
&\mathbf{২১. xy-y, \text{ } x³y-xy, \text{ } x²-2x+1}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =xy-y \text{ } =y\left(x-1\right) [কমন]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =x³y-xy \text{ } =xy\left(x²-1\right) [কমন]\\
&=xy\left(x+1\right)\left(x-1\right) [ সূত্র a²-b²=\left(a+b\right)\left(a-b\right) ]\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি =x²-2x+1=x²-2.x.1+1² \text{ } =\left(x-1\right)² [ সূত্র \left(a-b\right)²=a²-2ab+b² ]\\
&=\left(x-1\right)\left(x-1\right)\\
&অতএব \text{ } গ.সা.গু. =\left(x-1\right)\\
&\mathbf{গ. \text{ } ল.সা.গু. \text{ } নির্ণয় \text{ } করো \text{ } (২২ – ৩১)}\\
&\mathbf{২২. \text{ } 6a³b²c, \text{ } 9a⁴bd²}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =6a³b²c \text{ } =2×3×a×a×a×b×b×c\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =9a⁴bd² \text{ } =3×3×a×a×a×a×b×d×d\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. =2×3×3×a×a×a×a×b×b×c×d×d \text{ } =18a⁴b²cd²\\
&\mathbf{২৩. 5x²y², \text{ } 10xz³, \text{ } 15y³z⁴}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =5x²y² \text{ } =5×x×x×y×y\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =10xz³ \text{ } =2×5×x×z×z×z\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি =15y³z⁴ \text{ } =3×5×y×y×y×z×z×z×z\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. =2×3×5×x×x×y×y×y×z×z×z×z \text{ } =30x²y³z⁴\\
&\mathbf{২৪. 2p²xy², \text{ } 3pq², \text{ } 6pqx²}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =2p²xy² \text{ } =2×p×p×x×y×y\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =3pq² \text{ } =3×p×q×q\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি =6pqx² \text{ } =2×3×p×q×x×x\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. =2×3×p×p×q×q×x×x×y×y \text{ } =6p²q²x²y²\\
&\mathbf{২৫. \left(b²-c²\right), \text{ } \left(b+c\right)²}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =b²-c² \text{ } =\left(b+c\right)\left(b-c\right) [ সূত্র a²-b²=\left(a+b\right)\left(a-b\right) ]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =\left(b+c\right)² \text{ } =\left(b+c\right)\left(b+c\right)\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু.=\left(b+c\right)\left(b+c\right)\left(b-c\right) \text{ } =\left(b+c\right)²\left(b-c\right)\\
&\mathbf{২৬. x²+2x, \text{ } x²+3x+2}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =x²+2x \text{ } =x\left(x+2\right) [কমন]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =x²+3x+2 \text{ } =x²+2x+x+2 [মিডল টার্ম ব্রেক]\\
&=x\left(x+2\right)+1\left(x+2\right) \text{ } =\left(x+2\right)\left(x+1\right) [কমন]\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. =x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\\
&\mathbf{২৭. 9x²-25y², \text{ } 15ax-25ay}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =9x²-25y² \text{ } =\left(3x\right)²-\left(5y\right)² \text{ } =\left(3x+5y\right)\left(3x-5y\right) [ সূত্র a²-b²=\left(a+b\right)\left(a-b\right) ]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =15ax-25ay \text{ } =5a\left(3x-5y\right) [কমন]\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. =5a\left(3x+5y\right)\left(3x-5y\right) \text{ } =5a\left(9x²-25y²\right)\\
&\mathbf{২৮. x²-3x-10, \text{ } x²-10x+25}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =x²-3x-10 \text{ } =x²-5x+2x-10 [মিডল টার্ম ব্রেক]\\
&=x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right) \text{ } =\left(x-5\right)\left(x+2\right) [কমন]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =x²-10x+25 \text{ } =x²-2.x.5+5² \text{ } =\left(x-5\right)² [সূত্র (a–b)² = a² – 2ab + b²]\\
&=\left(x-5\right)\left(x-5\right)\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. =\left(x+2\right)\left(x-5\right)\left(x-5\right) \text{ } =\left(x+2\right)\left(x-5\right)²\\
&\mathbf{২৯. a²-7a+12, \text{ } a²+a-20, \text{ } a²+2a-15}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =a²-7a+12 \text{ } =a²-4a-3a+12 [মিডল টার্ম ব্রেক]\\
&=a\left(a-4\right)-3\left(a-4\right) \text{ } =\left(a-4\right)\left(a-3\right) [কমন]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =a²+a-20 \text{ } =a²+5a-4a-20 [মিডল টার্ম ব্রেক]\\
&=a\left(a+5\right)-4\left(a+5\right) \text{ } =\left(a+5\right)\left(a-4\right) [কমন]\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি =a²+2a-15 \text{ } =a²+5a-3a-15 [মিডল টার্ম ব্রেক]\\
&=a\left(a+5\right)-3\left(a+5\right) \text{ } =\left(a+5\right)\left(a-3\right) [কমন]\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. =\left(a-3\right)\left(a-4\right)\left(a+5\right)\\
&\mathbf{৩০. x²-8x+15, \text{ } x²-25, \text{ } x²+2x-15}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =x²-8x+15 \text{ } =x²-5x-3x+15 [মিডল টার্ম ব্রেক]\\
&=x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right) \text{ } =\left(x-5\right)\left(x-3\right) [কমন]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =x²-25 \text{ } =x²-5² \text{ } =\left(x+5\right)\left(x-5\right) [ সূত্র a²-b²=\left(a+b\right)\left(a-b\right) ]\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি =x²+2x-15 \text{ } =x²+5x-3x-15 [মিডল টার্ম ব্রেক]\\
&=x\left(x+5\right)-3\left(x+5\right) \text{ } =\left(x+5\right)\left(x-3\right) [কমন]\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. =\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x+5\right) \text{ } =\left(x-3\right)\left(x²-25\right)\\
&\mathbf{৩১. x+5, \text{ } x²+5x, \text{ } x²+7x+10}\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =x+5\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =x²+5x \text{ } =x\left(x+5\right) [কমন]\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি =x²+7x+10 \text{ } =x²+5x+2x+10 [মিডল টার্ম ব্রেক]\\
&=x\left(x+5\right)+2\left(x+5\right) \text{ } =\left(x+5\right)\left(x+2\right) [কমন]\\
&অতএব \text{ } ল.সা.গু. =x\left(x+2\right)\left(x+5\right)\\
&\mathbf{ঘ. \text{ } সৃজনশীল \text{ } প্রশ্ন \text{ } (৩২ – ৩৩)}\\
&\mathbf{৩২. a=2x-3 \text{ } এবং \text{ } b=2x+5}\\
&\mathbf{(ক) \text{ } a+b \text{ } এর \text{ } মান \text{ } নির্ণয় \text{ } করো।}\\
&\mathbf{(খ) \text{ } সূত্রের \text{ } সাহায্যে \text{ } a² \text{ } এর \text{ } মান \text{ } নির্ণয় \text{ } করো।}\\
&\mathbf{(গ) \text{ } সূত্রের \text{ } সাহায্যে \text{ } a \text{ } ও \text{ } b \text{ } এর \text{ } গুণফল \text{ } নির্ণয় \text{ } করো। \text{ } x=2 \text{ } হলে, \text{ } ab= \text{ } কত?}\\
&সমাধানঃ\\
&(ক) দেওয়া \text{ } আছে, \text{ } a=2x-3 \text{ } এবং \text{ } b=2x+5\\
&a+b \text{ } =\left(2x-3\right)+\left(2x+5\right) \text{ } = 2x-3+2x+5 \text{ } =4x+2\\
&অতএব, \text{ } a+b= \text{ } 4x+2\\
&(খ) দেওয়া \text{ } আছে, \text{ } a=2x-3\\
&a²=\left(2x-3\right)²\\
&=\left(2x\right)²-2.2x.3+3² [ সূত্র \left(a-b\right)²=a²-2ab+b² ]\\
&=4x²-12x+9\\
&অতএব, \text{ } a²=4x²-12x+9\\
&(গ) \text{ } a \text{ } ও \text{ } b \text{ } এর \text{ } গুণফল, \text{ } ab=\left(2x-3\right)\left(2x+5\right)\\
&আমরা \text{ } জানি, \left(x+a\right)\left(x+b\right) \text{ } =x²+\left(a+b\right)x+ab [ সূত্র ]\\
&তাহলে, \text{ } \left(2x-3\right)\left(2x+5\right)\\
&=\left(2x\right)²+\{\left(-3\right)+5\}\left(2x\right)+\left(-3\right)\left(5\right)\\
&=4x²+\left(2\right)\left(2x\right)-15\\
&=4x²+4x-15\\
&এখন, \text{ } x=2 \text{ } হলে,\\
&ab=4\left(2\right)²+4\left(2\right)-15\\
&=4\left(4\right)+8-15\\
&=16+8-15\\
&=24-15\\
&=9\\
&অতএব, \text{ } ab=4x²+4x-15 \text{ } এবং \text{ } x=2 \text{ } হলে \text{ } ab=9\\
&\mathbf{৩৩. \text{ } x²-3x-10, \text{ } x³+6x²+8x \text{ } এবং \text{ } x⁴-5x³-14x² \text{ } তিনটি \text{ } বীজগণিতীয় \text{ } রাশি।}\\
&\mathbf{(ক) \text{ } \left(3x-2y+z\right)\ \text{ } এর \text{ } বর্গ \text{ } নির্ণয় \text{ } করো।}\\
&\mathbf{(খ) \text{ } ১ম \text{ } ও \text{ } ২য় \text{ } রাশির \text{ } গ.সা.গু. \text{ } নির্ণয় \text{ } করো।}\\
&\mathbf{(গ) \text{ } রাশি \text{ } তিনটির \text{ } ল.সা.গু. \text{ } নির্ণয় \text{ } করো।}\\
&সমাধানঃ\\
&(ক) \left(3x-2y+z\right)²\\
&=\left(3x\right)²+\left(-2y\right)²+z²+2\left(3x\right)\left(-2y\right)+2\left(-2y\right)\left(z\right)+2\left(z\right)\left(3x\right)\ \ \\
&[ সূত্র \left(a+b+c\right)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca\ ]\\
&=9x²+4y²+z²-12xy-4yz+6zx\\
&(খ) ১ম \text{ } রাশি =x²-3x-10=x²-5x+2x-10 [মিডল টার্ম ব্রেক]\\
&=x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right) \text{ } =\left(x-5\right)\left(x+2\right) [কমন]\\
&২য় \text{ } রাশি =x³+6x²+8x \text{ } =x\left(x²+6x+8\right) [কমন]\\
&=x\left(x²+4x+2x+8\right) [মিডল টার্ম ব্রেক]\\
&=x\{x\left(x+4\right)+2\left(x+4\right)\} [কমন]\\
&=x\left(x+4\right)\left(x+2\right) [কমন]\\
&অতএব \text{ } ১ম \text{ } ও \text{ } ২য় \text{ } রাশির \text{ } গ.সা.গু. =\left(x+2\right)\\
&(গ) \text{ } (খ) \text{ } হতে \text{ } প্রাপ্ত,\\
&১ম \text{ } রাশি =\left(x-5\right)\left(x+2\right)\\
&২য় \text{ } রাশি =x\left(x+4\right)\left(x+2\right)\\
&৩য় \text{ } রাশি =x⁴-5x³-14x²\\
&=x²\left(x²-5x-14\right) [কমন]\\
&=x²\left(x²-7x+2x-14\right) [মিডল টার্ম ব্রেক]\\
&=x²x\left(x-7\right)+2\left(x-7\right) [কমন]\\
&=x²\left(x-7\right)\left(x+2\right) [কমন]\\
&অতএব \text{ } রাশি \text{ } তিনটির \text{ } ল.সা.গু. =x²\left(x+2\right)\left(x-5\right)\left(x+4\right)\left(x-7\right)\\
&\mathbf{ঙ. \text{ } অতিরিক্ত \text{ } সৃজনশীল \text{ } প্রশ্ন \text{ } ও \text{ } উত্তর \text{ } (সংযোজন)}\\
&\mathbf{১. \text{ } a, \text{ } a², \text{ } a\left(a+b\right) \text{ } এর \text{ } সর্বোচ্চ \text{ } সাধারণ \text{ } গুণনীয়ক \text{ } কোনটি?}\\
&(ক) a \text{ } \text{ } (খ) a² \text{ } \text{ } (গ) a\left(a+b\right) \text{ } \text{ } (ঘ) a²\left(a+b\right)\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি = a\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি = a² \text{ } = a×a\\
&তৃতীয় \text{ } রাশি = a\left(a+b\right)\\
&তিনটি \text{ } রাশিরই \text{ } সাধারণ \text{ } উৎপাদক \text{ } = a\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } (ক) \text{ } a\\
&\mathbf{২. \text{ } x=a+7 \text{ } ও \text{ } y=a-7 \text{ } হলে—}\\
& \text{ } \text{ } (i) x-y=14\\
& \text{ } \text{ } (ii) xy=a²-49\\
& \text{ } \text{ } (iii) y²=a²+14a+49\\
&নিচের \text{ } কোনটি \text{ } সঠিক?\\
&(ক) i ও ii \text{ } \text{ } (খ) i ও iii \text{ } \text{ } (গ) ii ও iii \text{ } \text{ } (ঘ) i, ii ও iii\\
&সমাধানঃ\\
&(i) x-y \text{ } =\left(a+7\right)-\left(a-7\right) \text{ } =a+7-a+7 \text{ } =14\ \ (সঠিক)\\
&(ii) xy \text{ } =\left(a+7\right)\left(a-7\right) \text{ } =a²-7² \text{ } =a²-49\ \ (সঠিক)\\
&(iii) y² \text{ } =\left(a-7\right)² \text{ } =a²-2.a.7+7² \text{ } =a²-14a+49\ (এখানে \text{ } +14a \text{ } দেওয়া \text{ } আছে, \text{ } তাই \text{ } ভুল)\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } (ক) \text{ } i \text{ } ও \text{ } ii\\
&উদ্দীপকের \text{ } আলোকে \text{ } ৩ \text{ } ও \text{ } ৪ \text{ } নং \text{ } প্রশ্নের \text{ } উত্তর \text{ } দাও:\\
&\left(x³y-xy³\right)\ \text{ } ও \text{ } \left(x-y\right)\left(x+2y\right)\ \text{ } দুটি \text{ } বীজগণিতীয় \text{ } রাশি।\\
&\mathbf{৩. প্রথম \text{ } রাশির \text{ } উৎপাদকে \text{ } বিশ্লেষিত \text{ } রূপ \text{ } নিচের \text{ } কোনটি?}\\
&(ক) \left(x+y\right)\left(x-y\right) \text{ } \text{ } (খ) x\left(x+y\right)\left(x-y\right) \text{ } \text{ } (গ) y\left(x+y\right)\left(x-y\right) \text{ } \text{ } (ঘ) xy\left(x+y\right)\left(x-y\right)\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =x³y-xy³\\
&=xy\left(x²-y²\right) [কমন]\\
&=xy\left(x+y\right)\left(x-y\right) [ সূত্র a²-b²=\left(a+b\right)\left(a-b\right) ]\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } (ঘ) xy\left(x+y\right)\left(x-y\right)\\
&\mathbf{৪. বীজগণিতীয় \text{ } রাশি \text{ } দুটির \text{ } ল.সা.গু. \text{ } নিচের \text{ } কোনটি?}\\
&(ক) x\left(x+y\right)\left(x-y\right) \text{ } \text{ } (খ) y\left(x+y\right)\left(x-y\right) \text{ } \text{ } (গ) xy\left(x²-y²\right)\left(x+2y\right) \text{ } \text{ } (ঘ)xy\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\\
&সমাধানঃ\\
&প্রথম \text{ } রাশি =xy\left(x+y\right)\left(x-y\right)\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =\left(x-y\right)\left(x+2y\right)\\
&ল.সা.গু. \text{ } =xy\left(x+y\right)\left(x-y\right)\left(x+2y\right) \text{ } =xy\left(x²-y²\right)\left(x+2y\right)\\
&সঠিক \text{ } উত্তর: \text{ } (গ) \text{ } xy\left(x²-y²\right)\left(x+2y\right)\\
&\mathbf{৫. x⁴-625 \text{ } এবং \text{ } x²+3x-10 \text{ } দুটি \text{ } বীজগণিতীয় \text{ } রাশি।}\\
&\mathbf{(ক) \text{ } সূত্রের \text{ } সাহায্যে \text{ } \left(m²-3\right)\ \text{ } ও \text{ } m²+3 \text{ } এর \text{ } গুণফল \text{ } নির্ণয় \text{ } করো।}\\
&\mathbf{(খ) \text{ } রাশি \text{ } দুটির \text{ } গ.সা.গু. \text{ } নির্ণয় \text{ } করো।}\\
&\mathbf{(গ) \text{ } রাশি \text{ } দুটির \text{ } ল.সা.গু. \text{ } নির্ণয় \text{ } করো।}\\
&সমাধানঃ\\
&(ক) \left(m²-3\right)\left(m²+3\right)\\
&=\left(m²\right)²-3²\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [ সূত্র \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a²-b² ]\\
&=m⁴-9\\
&(খ) প্রথম \text{ } রাশি =x⁴-625\\
&=\left(x²\right)²-25²\\
&=\left(x²+25\right)\left(x²-25\right) [ সূত্র a²-b²=\left(a+b\right)\left(a-b\right) ]\\
&=\left(x²+25\right)\left(x²-5²\right)\\
&=\left(x²+25\right)\left(x+5\right)\left(x-5\right) [ সূত্র a²-b²=\left(a+b\right)\left(a-b\right) ]\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =x²+3x-10\\
&=x²+5x-2x-10 [মিডল টার্ম ব্রেক]\\
&=x\left(x+5\right)-2\left(x+5\right) [কমন]\\
&=\left(x+5\right)\left(x-2\right) [কমন]\\
&অতএব \text{ } রাশি \text{ } দুটির \text{ } গ.সা.গু. =\left(x+5\right)\\
&(গ) \text{ } (খ) \text{ } হতে \text{ } প্রাপ্ত \text{ } উৎপাদকসমূহ,\\
&প্রথম \text{ } রাশি =\left(x²+25\right)\left(x+5\right)\left(x-5\right)\\
&দ্বিতীয় \text{ } রাশি =\left(x+5\right)\left(x-2\right)\\
&অতএব \text{ } রাশি \text{ } দুটির \text{ } ল.সা.গু. \text{ } =\left(x²+25\right)\left(x+5\right)\left(x-5\right)\left(x-2\right) \text{ } =\left(x⁴-625\right)\left(x-2\right)\\
&\mathbf{৬. \text{ } সংক্ষিপ্ত- \text{ } উত্তর \text{ } প্রশ্নঃ}\\
&\mathbf{(ক) \text{ } 9x²-24x+16 \text{ } -কে \text{ } \left(a-b\right)² \text{ } আকারে \text{ } প্রকাশ \text{ } করো।}\\
&\mathbf{(খ) \text{ } a-b=5 \text{ } এবং \text{ } a²+b²=37 \text{ } হলে, \text{ } ab \text{ } -এর \text{ } মান \text{ } নির্ণয় \text{ } করো।}\\
&\mathbf{(গ) \text{ } সূত্র \text{ } প্রয়োগ \text{ } করে \text{ } \left(ab-bc+ca\right)\ \text{ } -এর \text{ } বর্গ \text{ } নির্ণয় \text{ } করো।}\\
&\mathbf{(ঘ) \text{ } x²+\frac{1}{x²}=7\ \text{ } হলে, \left(x-\frac{1}{x}\right)²\ \text{ } -এর \text{ } মান \text{ } নির্ণয় \text{ } করো।}\\
&সমাধানঃ\\
&(ক) 9x²-24x+16\\
&=\left(3x\right)²-2.\left(3x\right).\left(4\right)+4²\\
&=\left(3x-4\right)²\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[সূত্র\ \ \ a²-2ab+b²=\left(a-b\right)²\ \ \right]\\
&নির্ণেয় \text{ } রূপ: \left(3x-4\right)²\\
&(খ) \text{ } দেওয়া \text{ } আছে, \text{ } a-b=5 \text{ } এবং \text{ } a²+b²=37\\
&আমরা \text{ } জানি, a²+b²=\left(a-b\right)²+2ab\\
&বা, 37=5²+2ab\\
&বা, 37=25+2ab\\
&বা, 25+2ab = 37\\
&বা, 2ab=37-25\\
&বা, 2ab=12\\
&বা, ab=\frac{12}{2}\\
&বা, ab=6\\
&অতএব, \text{ } ab=6\\
&(গ) \left(ab-bc+ca\right)²\\
&= \{ab+\left(-bc\right)+ca\}²\\
&= \left(ab\right)²+\left(-bc\right)²+\left(ca\right)²+2\left(ab\right)\left(-bc\right)+2\left(-bc\right)\left(ca\right)+2\left(ca\right)\left(ab\right) \\
& [ সূত্র \left(a+b+c\right)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca\ \ ]\\
&=a²b²+b²c²+c²a²-2ab²c-2abc²+2a²bc\\
&(ঘ) দেওয়া \text{ } আছে, x²+\frac{1}{x²}=7\\
&বা, {\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{2}+2.x.\frac{1}{x}=7 \text{ } [ সূত্র a^{2}+b^{2}={\left(a-b\right)}^{2}+2ab ]\\
&বা, {\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{2}+2=7 \\
&বা, {\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{2}=7-2 \\
&অতএব, \text{ } {\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{2}=5\\
\end{align*}